Методическая разработка "Системы счисления с произвольным основанием" для 10-11 кл.


Павлова Марина Владимировна

МОУ Гимназия №4, г. Можайск, МО,

учитель информатики

Системы счисления с произвольным основанием.

Теоретические сведения по этой теме.

Система счисления с основанием N использует N цифр для записи числа:

0, 1,2,3,….N-1

Старшая цифра в системе счисления с основанием N равна N-1.

Любое десятичное число D можно разложить по степеням основания N:

D = аkNk +ak-1Nk-1 + … +a2N2 +a1N1 +a0N0 = аkak-1…a2a1a0 (1)

Где ai – цифры системы счисления с основанием N; аkak-1a2a1a0 – число в системе счисления с основанием N.

Как видно из записи (1) число в системе счисления с основанием N составляется из множителей при степенях основания N.

Перевод десятичного числа в число системы счисления с основанием N осуществляется методом деления.

Обратный перевод осуществляется разложением по степеням.

Разберем примеры типовых задач из демонстрационных вариантов ЕГЭ.

Пример 1.

Переведите число 75 в двоичную систему счисления.

Решение:

рассмотрим перевод числа с помощью метода деления нацело и записи остатков.

Алгоритм перевода

1. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых

частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не

получится частное, меньше делителя.

2. Полученные остатки, являющие цифрами числа в новой системе

счисления, привести в соответствие с алфавитом в новой системе

счисления.

3. Искомое число составляется из последнего частного и остатков, записанных в обратном порядке от последнего к первому.

Применим алгоритм к заданному числу 75 и основанию 2.



Рис.1

В данной задаче искомое число: 10010112.

Ответ: 10010112

На рис.1 показан перевод десятичного числа 75 соответственно в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. 7510 =1138, 7510 = 4В16.


Пример 2

Переведите число 101,012 из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

используем метод разложения по степеням.

  1. Определяем разряд каждой цифры, входящей в запись числа. Разряды нумеруются справа налево, начиная с нуля.

  2. Номер разряда соответствует степени основания в разложении.

Для нашего примера преобразование из двоичной системы счисления в десятичную выполняем по следующему правилу: записываем двоичное число в развёрнутой форме и вычисляем его значение. Числа в двоичной системе в развёрнутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которого выступают цифры 0 или 1.

10,11 2 =1*21+0*2 0+1*2 −1 +1*2 −2 =1*2+0*1+1*0,5+1*0,25=2,7510

Ответ: 2,7510

Пример 3 (1-й тип задач)

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 12 записывается в виде 110.Укажите это основание.

Решение:

Обозначим через х неизвестное основание.

Составим уравнение:

110х =1*х2 + 1*х1 +0*х0;

С другой стороны:

1*х2 + 1*х1 +0*х0 =1210;

1*х2 + 1*х1 =12;

х2 + х1 =12;

х2 + х1 -12 =0;

Решим полученное квадратное уравнение относительно переменной х;

Получим натуральный корень х1 = 3;

Второй корень: х2 = -4 (не подходит, т.к. основание системы счисления, по определению, натуральное число большее единицы).

Проверим полученный ответ подстановкой:

9+3-12=0.

Ответ: 3.

Существует еще другой вариант решения, основанный на простом подборе. Пусть наше число имеет основание х, тогда оно записывается в виде 110х =1*х2 + 1*х1 +0*х0. Будем подставлять в качестве основания различные натуральные числа, начиная с 2. При х=2 получим 1102 =610, при х=3 получим 1103 =1210, то есть искомое решение. Ясно, что при х >3 мы будем получать большие числа, например, при х=4 получим 1104 =2010.

Ответ: 3.

Пример 4 (2-й тип задач)

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.

Решение:

  1. Поскольку число в некоторой системе счисления оканчивается на 4, следовательно, основание искомой системы счисления должно быть больше 4.

  2. Обозначим за Х искомое основание системы счисления.

  3. Обратимся к алгоритму перевода десятичного числа в другую систему счисления. В этом алгоритме последняя цифра в записи числа в новой системе счисления получается как остаток от деления исходного числа на основание.

  4. Значит, исходная задача сводится к тому, чтобы найти все натуральные числа, для которых остаток от деления 22/ Х будет равен 4. Этот можно записать в виде:

(22 - 4) = А*Х,

где А – результат деления нацело числа 22.

Преобразуем выражение:

18 = А*Х.

  1. Задача сводится к тому, чтобы найти делители числа 18, большие 4.

  2. Выпишем все делители числа 18:

1, 2, 3,6, 9, 18. Из этих делителей подходят числа 6, 9,18.

Проверим свой ответ тем, что запишем число 22 в указанных системах счисления.

2210=346, 2210=249, 2210=1418.





Ответ: 6, 9, 18.





Пример 5 (3-й тип задач)

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 50, запись которых в системе счисления с основанием 6 оканчивается на12.

Решение:

  1. Переведем заданное десятичное число в систему счисления с основанием 6.

  2. Найдем все числа в указанной системе счисления меньшие, чем полученное число, и оканчивающее на требуемые цифры.

Получим: 5010 =1226

  1. Теперь задача сводится к тому, чтобы найти все числа шестнадцатеричной системы счисления, оканчивающихся на 12. Это будут числа126 и 1126.

  2. Сделаем обратный перевод этих чисел в десятичную систему счисления;

126 = 1*61 + 2*60 = 810;

1126 = 1*62 +1*61 +2*60 = 4410.

Ответ: 8, 44.

Задания для самостоятельного решения.

  1. Переведите число 123 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную.

  2. Переведите число ВЕ из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.

  3. Переведите число СА из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.

  4. Как будет выглядеть число 658 в десятичной системе счисления?

  5. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число

38 записывается в виде 102. Укажите это основание.

  1. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число

43 записывается в виде 133. Укажите это основание.

  1. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 21 записывается в виде 111. Укажите это основание.

  2. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 10 записывается в виде 101. Укажите это основание.

  3. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 17 записывается в виде 101. Укажите это основание.

  4. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49 записывается в виде 100. Укажите это основание.

  5. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 4.

  6. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись десятичного числа 33 оканчивается на 1.

  7. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись десятичного числа 41 оканчивается на 6.

  8. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись десятичного числа 36 оканчивается на 4.

  9. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 60, запись которых в системе счисления с основанием 6 оканчивается на 11.

  10. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 76, запись которых в системе счисления с основанием 8 оканчивается на 14.

















































































Список используемой литературы:

  1. ЕГЭ. Информатика. Раздаточный материал тренировочных тестов / И.Ю.Гусева. – СПб. : Тригон, 2008;

  2. Единый государственный экзамен 2009. Информатика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / Под редакцией В.Р. Лещинера/ ФИПИ. –М.: Интеллект – Центр, 2009;

  3. 1С: Репетитор «Сдаем Единый экзамен 2010»;

  4. Информатика и ИКТ. Подготовка к ЕГЭ 2011. Типовые задачи / Под ред.

проф. Н.В. Макаровой. – СПб.: Питер, 2011.


















Полный текст материала Методическая разработка "Системы счисления с произвольным основанием" для 10-11 кл. смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен фрагмент.
Автор: Павлова Марина Владимировна  klonn
08.08.2011 6 5077 1052

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.



А вы знали?

Интересные инструкции по ПК

Лучшие материалы сайта для вас
Оставьте отзыв к материалу:
Всего: 6
avatar
5 Nike_Pashkov • 16:23, 25.09.2011
Свидетельство №246/2011
[Материал]
avatar
4 Marya66 • 18:25, 13.09.2011
Cпасибо за ваш материал. Взяла в свою копилку.
[Материал]
avatar
6 klonn • 22:55, 25.09.2011
Спасибо за оценку моего материала!
[Материал]
avatar
2 sun4450 • 14:40, 18.08.2011
Материал очень понравился,3 типов действительно маловато.Но я считаю,что для подготовки к ЕГЭ использовать можно.
[Материал]
avatar
1 Galina_Vlad • 10:04, 15.08.2011
Марина Владимировна, Ваш материал подобран хорошо, но все задачи для самостоятельного решения содержат всего 3 типа заданий. Вы пишите, что разработка может быть использована при подготовке к ЕГЭ. Наверное, трех типов для подготовки маловато.
Надеюсь на понимание. С уважанием, Галина.
[Материал]
avatar
3 klonn • 19:03, 29.08.2011
Уважаемая Галина Владимировна!
В своей разработке я имела ввиду именно задачи из демонстрационных вариантов ЕГЭ на использование систем счисления с произвольным основанием (это задачи из группы В: В1 или В3). На заседаниях РМО учителей информатики нашего района учителя обращались с проблемой решения таких типов задач, поэтому я решила рассмотреть именно эти задачи.Решение , например, текстовых логических задач из группы В , я разместила на сайте: http://videouroki.net/. Приглашаю Вас, Галина, к дружеской переписке. Надеюсь, что переписка будет интересной. Спасибо, что оценили мою работу, я очень волновалась!
С уважением, Павлова М.В., учитель информатики МОУ Гимназия №4,
г. Можайск, Московская Область
[Материал]