Методическая разработка "Системы счисления с произвольным основанием" для 10-11 кл.

Павлова Марина Владимировна

МОУ Гимназия №4, г. Можайск, МО,

учитель информатики

Системы счисления с произвольным основанием.

Теоретические сведения по этой теме.

Система счисления с основанием N использует N цифр для записи числа:

0, 1,2,3,….N-1

Старшая цифра в системе счисления с основанием N равна N-1.

Любое десятичное число D можно разложить по степеням основания N:

D = а_kN^k +a_k-1N^k-1 + … +a₂N² +a₁N¹ +a₀N⁰ = а_ka_k-1…a₂a₁a₀ (1)

Где a_i – цифры системы счисления с основанием N; а_ka_k-1…a₂a₁a₀ – число в системе счисления с основанием N.

Как видно из записи (1) число в системе счисления с основанием N составляется из множителей при степенях основания N.

Перевод десятичного числа в число системы счисления с основанием N осуществляется методом деления.

Обратный перевод осуществляется разложением по степеням.

Разберем примеры типовых задач из демонстрационных вариантов ЕГЭ.

Пример 1.

Переведите число 75 в двоичную систему счисления.

Решение:

рассмотрим перевод числа с помощью метода деления нацело и записи остатков.

Алгоритм перевода

1. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых

частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не

получится частное, меньше делителя.

2. Полученные остатки, являющие цифрами числа в новой системе

счисления, привести в соответствие с алфавитом в новой системе

счисления.

3. Искомое число составляется из последнего частного и остатков, записанных в обратном порядке от последнего к первому.

Применим алгоритм к заданному числу 75 и основанию 2.

Рис.1

В данной задаче искомое число: 1001011₂.

Ответ: 1001011₂

На рис.1 показан перевод десятичного числа 75 соответственно в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. 75₁₀ =113₈, 75₁₀ = 4В_16.

Пример 2

Переведите число 101,01₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

используем метод разложения по степеням.

1. Определяем разряд каждой цифры, входящей в запись числа. Разряды нумеруются справа налево, начиная с нуля.

2. Номер разряда соответствует степени основания в разложении.

Для нашего примера преобразование из двоичной системы счисления в десятичную выполняем по следующему правилу: записываем двоичное число в развёрнутой форме и вычисляем его значение. Числа в двоичной системе в развёрнутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которого выступают цифры 0 или 1.

10,11 ₂ =1*2¹+0*2 ⁰+1*2 ₋₁ +1*2 ₋₂ =1*2+0*1+1*0,5+1*0,25=2,75₁₀

Ответ: 2,75₁₀

Пример 3 (1-й тип задач)

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 12 записывается в виде 110.Укажите это основание.

Решение:

Обозначим через х неизвестное основание.

Составим уравнение:

110_х =1*х² + 1*х¹ +0*х⁰;

С другой стороны:

1*х² + 1*х¹ +0*х⁰ =12₁₀;

1*х² + 1*х¹ =12;

х² + х¹ =12;

х² + х¹ -12 =0;

Решим полученное квадратное уравнение относительно переменной х;

Получим натуральный корень х₁ = 3;

Второй корень: х₂ = -4 (не подходит, т.к. основание системы счисления, по определению, натуральное число большее единицы).

Проверим полученный ответ подстановкой:

9+3-12=0.

Ответ: 3.

Существует еще другой вариант решения, основанный на простом подборе. Пусть наше число имеет основание х, тогда оно записывается в виде 110_х =1*х² + 1*х¹ +0*х⁰. Будем подставлять в качестве основания различные натуральные числа, начиная с 2. При х=2 получим 110₂ =6₁₀, при х=3 получим 110₃ =12₁₀, то есть искомое решение. Ясно, что при х >3 мы будем получать большие числа, например, при х=4 получим 110₄ =20₁₀.

Ответ: 3.

Пример 4 (2-й тип задач)

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.

Решение:

1. Поскольку число в некоторой системе счисления оканчивается на 4, следовательно, основание искомой системы счисления должно быть больше 4.

2. Обозначим за Х искомое основание системы счисления.

3. Обратимся к алгоритму перевода десятичного числа в другую систему счисления. В этом алгоритме последняя цифра в записи числа в новой системе счисления получается как остаток от деления исходного числа на основание.

4. Значит, исходная задача сводится к тому, чтобы найти все натуральные числа, для которых остаток от деления 22/ Х будет равен 4. Этот можно записать в виде:

(22 - 4) = А*Х,

где А – результат деления нацело числа 22.

Преобразуем выражение:

18 = А*Х.

5. Задача сводится к тому, чтобы найти делители числа 18, большие 4.

6. Выпишем все делители числа 18:

1, 2, 3,6, 9, 18. Из этих делителей подходят числа 6, 9,18.

Проверим свой ответ тем, что запишем число 22 в указанных системах счисления.

22₁₀=34₆, 22₁₀=24₉, 22₁₀=14₁₈.

Ответ: 6, 9, 18.

Пример 5 (3-й тип задач)

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 50, запись которых в системе счисления с основанием 6 оканчивается на12.

Решение:

1. Переведем заданное десятичное число в систему счисления с основанием 6.

2. Найдем все числа в указанной системе счисления меньшие, чем полученное число, и оканчивающее на требуемые цифры.

Получим: 50₁₀ =122₆

3. Теперь задача сводится к тому, чтобы найти все числа шестнадцатеричной системы счисления, оканчивающихся на 12. Это будут числа12₆ и 112₆.

4. Сделаем обратный перевод этих чисел в десятичную систему счисления;

12₆ = 1*6¹ + 2*6⁰ = 8₁₀;

112₆ = 1*6² +1*6¹ +2*6⁰ = 44₁₀.

Ответ: 8, 44.

Задания для самостоятельного решения.

1. Переведите число 123 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную.

2. Переведите число ВЕ из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.

3. Переведите число СА из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.

4. Как будет выглядеть число 65₈ в десятичной системе счисления?

5. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число

38 записывается в виде 102. Укажите это основание.

6. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число

43 записывается в виде 133. Укажите это основание.

7. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 21 записывается в виде 111. Укажите это основание.

8. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 10 записывается в виде 101. Укажите это основание.

9. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 17 записывается в виде 101. Укажите это основание.

10. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49 записывается в виде 100. Укажите это основание.

11. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 4.

12. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись десятичного числа 33 оканчивается на 1.

13. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись десятичного числа 41 оканчивается на 6.

14. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись десятичного числа 36 оканчивается на 4.

15. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 60, запись которых в системе счисления с основанием 6 оканчивается на 11.

16. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 76, запись которых в системе счисления с основанием 8 оканчивается на 14.

Список используемой литературы:

1. ЕГЭ. Информатика. Раздаточный материал тренировочных тестов / И.Ю.Гусева. – СПб. : Тригон, 2008;

2. Единый государственный экзамен 2009. Информатика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / Под редакцией В.Р. Лещинера/ ФИПИ. –М.: Интеллект – Центр, 2009;

3. 1С: Репетитор «Сдаем Единый экзамен 2010»;

4. Информатика и ИКТ. Подготовка к ЕГЭ 2011. Типовые задачи / Под ред.

проф. Н.В. Макаровой. – СПб.: Питер, 2011.