Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение дополнительного профессионального

образования (курсы повышения квалификации) специалистов

Кузбасский региональный институт повышения квалификации

и переподготовки работников образования

Факультет повышения квалификации

Кафедра естественнонаучных дисциплин

Планиметрические задачи ЕГЭ

Проектная работа

Исполнители:

Арышева Татьяна Михайловна,

учитель математики

МОУ «Марьевская средняя школа»

Яйского района

Березовская Татьяна Николаевна,

учитель математики

МОУ «Калачевская средняя школа»

Прокопьевского района

Девайкина Валентина Васильевна,

учитель математики

МОУ«Калачевская средняя школа»

Прокопьевского района

Шевченко Татьяна Михайловна,

учитель математики

МОУ «Анжерская средняя школа»

Яйского района

Гандыбин Сергей Владимирович,

учитель математики

МОУ ООШ №2 г. Тайги

Кемерово, 2007

Содержание

Введение…………………………………………………………

1. Анализ геометрических задач ЕГЭ …………………………

2. Технология решения планиметрических задач по геометрии на уроках 10-11 классах…………………………………………………….

3. Планиметрические задачи ЕГЭ………………………………

Заключение………………………………………………………

Список литературы…………………………………………….

Введение

Одной из актуальных задач, стоящих перед обществом и государством является формирование государственной системы объективного контроля качества образования. С 2001 года на территории Российской Федерации проводится эксперимент по введению единого государственного экзамена – новой формы государственной итоговой аттестации учащихся.

Однако именно при подготовке к ЕГЭ очень ярко видны пробелы изучения геометрии в школе. Самыми трудными заданиями по математике на экзамене являются геометрические задачи.

Анализ результатов ЕГЭ в последние годы показал, что с задачами по геометрии справляются очень малое количество выпускников. При этом высветился ряд существенных недостатков в подготовке выпускников: теоретическое содержание курса геометрии усваивается формально, поэтому ребята не могут использовать изученный материал в ситуации, которая даже незначительно отличается от стандартной. Анализ результатов пробного ЕГЭ в Кемеровской области 2004-2007 году показал, что наибольшее затруднение вызвали задачи на вписанную и описанную окружности, свойства касательной к окружности, вписанные углы, то есть задачи планиметрии. При этом следует обратить внимание, что планиметрические задачи из года в год оставались наиболее неразрешимыми для выпускников. Поэтому, учителям, работающим в школе необходимо усилить внимание преподаванию курсу геометрии, делая акцент не только на овладение теоретическими фактами, но и развитие умений решать геометрические задачи разного уровня сложности и математически грамотно их записывать.

Цель: разработка и представление методических рекомендаций задач планиметрии ЕГЭ

Задачи: 1) изучить геометрический материал в рамках подготовки ЕГЭ

2. проанализировать геометрические задачи ЕГЭ

3. составить методические рекомендации учителям математики по решению задач планиметрии

4) Составить систему задач.

1. Анализ геометрических задач ЕГЭ

Проанализировав задачи в ЕГЭ, можно сказать, что в преподавании геометрии в школе очень много изучается как бы вскользь, чуть затрагивая свойство или даже теорему.

К таким моментам можно отнести, например, свойство биссектрисы угла в треугольнике.

Биссектриса угла в треугольнике делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные сторонам угла, из которого проведена данная биссектриса. В учебнике геометрии Л.С. Атанасяна ни слова не сказано об этом свойстве, даже в задачах не упоминается. К слову сказать, учебник совсем не плохой, по сравнению с учебником геометрии Погорелова А.В. Однако на экзаменах в форме ЕГЭ в заданиях по геометрии 2004 и 2005 года дается задача именно на данное свойство. В варианте 60 2005 года приведена задача по геометрии: В прямоугольном треугольнике АВЕ с прямым углом Е проведена биссектриса ВТ, причем АТ = 15, ТЕ = 12. Найдите площадь треугольника АВТ. Данная задача именно на свойство биссектрисы. В варианте 74 2005 года задача по геометрии: В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена биссектриса ВК. Найдите площадь треугольника АВК, если площадь треугольника АВС равна 21, а синус угла А равна 0,4. Данная задача также на свойство биссектрисы.

Для хорошего результата по ЕГЭ на данное свойство следует обратить особое внимание. Кроме данного свойства, такая же судьба у некоторых других свойств и признаков. Например: свойство четырехугольника, описанного окружностью, и четырехугольника с вписанной окружностью. У четырехугольника, в который вписана окружность, суммы противоположных сторон равны. У четырехугольника, около которого описана окружность, сумма противоположных углов равна 180 градусам. Считаем, что свойство длин касательных, проведенных из произвольной точки к окружности, также недостаточно подтверждена задачами. Конечно, учитель для того и находится в классе, чтобы должным образом организовать работу в классе. Необходимо постоянно повторять, контролировать, организовывать взаимопроверку и самопроверку на уроках и во внеурочное время, чтобы вызывать постоянный интерес к решению задач.

2. Технология решения планиметрических задач по геометрии на уроках 10-11 классов

Повторение планиметрического материала по блокам, позволяет реализовать широкие возможности для дифференцированного обучения обучающихся. Задачи предлагаются в широком диапазоне сложности - от самых простых, базовых, до достаточно трудных. У менее подготовленных учащихся появляются чувства уверенности в том, что они могут применять базовые знания в более сложных ситуациях.

Принципы, на которых базируется обучение по блокам:

а) продвижение в повторении материала более быстрыми темпами: обучение в темпе, стимулирующем продвижение вперёд

б) ведущая роль теоретических знаний: ознакомив с теорией, вести учеников к его осознанию и закреплению, предпочитая активность самих учащихся

в) укрупнение дидактических единиц: укрупнять дозы дидактического материала за счёт объединения разных, но логически связных тем и подтем

г) гласность результатов обучения: фиксировать ведомости открытого учёта знаний.

Работая над данной проблемой, сложилась определённая система, которая позволяет:

• сформировать целостное понятие геометрии на плоскости

• повысить мотивацию изучения геометрии

• повысить качество знаний

• повысить уровень образовательного процесса в целом

Всю программу по планиметрии разбиваем на блоки

1 блок – треугольники и их элементы

2 блок – четырёхугольники и их элементы

3 блок – площади многоугольников

4 блок – окружность и её элементы

5 блок – хорды, секущие и касательные

6 блок – векторы, метод координат на плоскости

Блок включает систему знаний и навыков, которые учащийся должен продемонстрировать после его изучения. Блок устанавливает границы, в которых знания учащихся оцениваются, и стандарты, в соответствии с которыми происходит обучение и оценка. Сам по себе модуль не является учебной программой или планом. Приведем пример изучения 1-го блока. Этапы блока:

1 этап – повторение необходимых теоретических знаний:

• виды треугольников (равносторонний, равнобедренный, прямоугольный);

• элементы треугольника и их свойства (медиана, биссектриса, высота, проекции катетов);

• теорема Пифагора;

• теорема косинусов;

• теорема синусов;

• средняя линия треугольника;

• подобие треугольников.

Для 10–11-классников этот материал не трудный, но, учитывая, что он занимает на уроке от 8 до 10 минут, он является очень важным именно для подготовки учащихся к решению планиметрических задач на ЕГЭ.

2 этап – решение простейших задач и контроль в группах и в парах; работа по дидактическому материалу;

3 этап – решение нестандартных и трудных задач. Такие задачи приносят огромную пользу. Решение одной трудной задачи заменяет решение многих простейших задач, но на данном этапе это продиктовано реальной потребностью. На данном этапе контроль осуществляется в основном учителем.

4 этап – предварительный контроль. Так как данный материал на уроке не основной, то и проверка несколько затруднена. В контрольные, самостоятельные по основной теме добавляем последним пунктом задачу из курса планиметрии.

5 этап – погружение; данный этап проходит на каникулах. За неделю до каникул каждый учащийся получает свой вариант задач и начинает его решать. В варианте содержится 20–25 разнообразных задач (Приложение 1).

Решив все задачи, учащийся приобретает навыки самостоятельного решения задач, уходит страх перед экзаменом, появляется интерес к геометрии.

Особое значение имеет обобщающее повторение планиметрии при изучении первых разделов стереометрии, так как одним из важных вопросов является проблема закрепления материала по планиметрии в процессе преподавания стереометрии. Актуальность этой проблемы исходит из необходимости умелого использования материала по планиметрии при решении задач на нахождение объёмов многогранников и круглых тел, на вычисление площадей их поверхностей.

Например, задача первого уровня:

Задача второго уровня:

Задача третьего уровня:

Роль учителя – подобрать таким образом теоретический и практический учебный материал, чтобы он был направлен на решение интегрированной дидактической цели, обеспечивал системность деятельности учащихся при индивидуальной и групповой работе. При такой организации учебного процесса все участники оперируют одинаковыми понятиями. Данная технология обучения базируется на единстве принципов, системности, проблемности и блочности.

Теоретическая значимость и новизна данной технологии состоит в том, что она рассматривается в комплексе: цель, принципы, способность проектирования содержания обучения, система задач и упражнений, конструирование дидактических материалов и система контроля и оценки учебных достижений.

Планиметрические задачи единого государственного экзамена

Планиметрия, как известно, не изучается в 10-11 классах, и для того чтобы ученик успешно справился с задачами, включенными в ЕГЭ, нужно выделить достаточное время на повторение курса геометрии, которое не предусмотрено действующей программой. Весьма важно решать планиметрические задачи весь год. При этом необходимым условием эффективности повторения является связь решаемых планиметрических задач с текущим стереометрическим материалом Для успешной организации повторения планиметрии вам предлагаем учителем должна быть продумана система задач, пример которой мы

Блок – треугольники

На первом этапе учащиеся самостоятельно работают с учебной литературой, со справочниками, пособиями по математике. Обязательными являются следующие вопросы:

1. Определение треугольника. Виды треугольника

2. Признаки равенства треугольников.

3. Равнобедренный треугольник и его свойства

4)Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника

5)Прямоугольный треугольник, его элементы. Признаки равенства прямоугольных треугольников

6)Средняя линия треугольника.

7)Теорема Пифагора. Теорема синусов. Теорема косинусов.

8)Площадь треугольника. Правильный треугольник и его площадь.

9) Признаки подобия треугольников

Обязательные результаты обучения по теме « Треугольники»

1. Начертите треугольник ABC. Постройте его медиану CC₁.(Воспользовавшись циркулем и линейкой без делений)

2. Дано:c ║d, =85°(см. рис.).Вычислите градусную меру углов 2 и 3.

m

3. а ) Вычислите меры углов треугольников ABC (см.рис)

b) Найдите меньшую сторону треугольника ABC ( Ответ обоснуйте)

4. Периметр равнобедренного треугольника равен 40 см. Одна сторона треугольника на 7 см. больше другой. Вычислите длины сторон треугольника.

5. Вычислите длину гипотенузы треугольника ABC (см. рис.)

6.Вычислите градусные меры острых углов прямоугольного треугольника, если один из них в 5 раз больше другого.

7.Задайте ещё один элемент треугольника MKP так, чтобы треугольники ABC и MKP были равны( см.рис. )

8.Дано: AB║ CD, FC : CB = 5:2 (см. рис.). Вычислите длину отрезка AB.

9.Дан треугольник. Чему равны cos и в этом треугольнике?

Нестандартные задачи

Соотношения между сторонами и углами треугольника

1. В ∆АВС высота ВН=6 см делит угол ABC на части так, что

∆АВН: ∆НВС =2:1 и основание АС на части, меньшая из которых равна 3. Найти стороны ∆АВС. Ответ: см; 8 см; 10 см.

2. Длины двух сторон треугольника 27см и 29 см. Длина медианы, проведенной к третьей стороне см. Найти высоту треугольника, проведенную к стороне длиной 27 см.

Ответ: 20 см.

3. В ∆КРС на стороне КС лежит точка N и делит её в отношении KN:NC=3:1, на стороне PC лежит точка М и делит её в отношении РМ:МС=5:2. В каком отношении прямая PN делит отрезок КМ?

Ответ: 21:5.

4. Стороны треугольника равны 4, 6 и 7. Найдите медиану, проведенную к меньшей стороне.

Ответ:

5. В треугольнике две стороны равны 6 и 3 см. Найти длину третьей стороны, если полусумма высот, проведенных к данным сторонам, равна третьей стороне.

Ответ: 4 см.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

1. В прямоугольном треугольнике АВС ( С=90⁰). АК и ВМ – медианы, АК=Г52, а ВМ=Г73. Найти .стороны А АВС.

Ответ: 6,8,10.

2. В равнобедренном ∆АВС АВ=ВС=18 см, АС=12см. СК и AM – биссектрисы. Найти КМ.

Ответ:7,2 см.

3. Длины сторон ∆MNP равны соответственно MN=5 cm, NP=3 см, МР=7 см. Биссектрисы MD и NK пересекаются в точке О. Найти отношение длин отрезков ОК и ON.

Ответ: 7:8.

4. В равнобедренном треугольнике основание равно 12 см, а высота, проведенная к основанию, равна 8 см. Найти длину высоты, проведенной к боковой стороне.

Ответ: 9,6 см.

5. Найти длины сторон АВ и АС треугольника ABC, если ВС=8 см, а длины высот, проведенных к AC и ВС, равны соответственно 6, 5 и 4 см.

Ответ: см, 5 см.

Комбинации окружности и треугольника

1. В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С вписана окружность с центром О. Известно, что радиус вписанной окружности равен 6 дм. ВОС=105°. Найти ОВ,

Ответ: 12 дм.

2. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной и описанной окружности 2 м и 5гм.

Ответ: 24 мг

3. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а боковая сторона равна 39 см. Определить радиус вписанного круга.

Ответ: 10 см.

4. Около остроугольного треугольника ВСЕ описана окружность с центром О, ОВС=25⁰, высоты ВК и СМ пересекаются в точке Р. Найти градусную меру МРК.

Ответ: 115⁰

5. Дан ∆АВС длины сторон которого равны АВ=15, ВС=12, АС=18. Центр вписанной окружности О делит биссектрису угла С на две части СО и OD. Найти отношение CO:OD.

Ответ: 2:1.

Площадь треугольника

1. В прямоугольном треугольнике АВС, гипотенуза которого АС, проведена биссектриса AD. Найти площадь треугольника ADC, если BD=4, DC=6.

Ответ: 12f 5.

2. Площадь ∆АВС равна . Найти АС, если АВ=8 и АВ больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 5.

Ответ: 14.

3. Медианы треугольника равны 3 см, 4 см, 5 см. Найти отношение площади данного треугольника к площади треугольника, образованного этими медианами.

Ответ: 4:3.

4. Вычислить площадь равнобедренного треугольника, если длина высоты, проведенной к боковой стороне, равна 12 см, а длина основания равна 15 см.

Ответ: 75 смг.

5. Расстояние от центра круга до хорды длиной 16 см равно 15 см. Найти площадь треугольника, описанного около круга, если периметр треугольника равен 200 см .

Ответ: 1700 см².

Рекомендуются задачи для самостоятельного решения

Задача 1. В равнобедренном треугольнике АВС, АВ=ВС, медиана АК перпендикулярна биссектрисе СЕ. Определите величину угла АСВ.

Задача 2. В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане ВК. Найти площадь треугольника АВС, если АМ=m, ВК=n.

Задача 3. Найти площадь треугольника АВС, если АВ=3 см, ВС=7 см, длина медианы ВМ равна 4 см.

Задача 4. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямоугольного угла проведена высота СК Точка К находится на расстояниях m и n от катетов АС и ВС соответственно. Найти длины катетов.

Задача 5. Постройте прямоугольный треугольник по катету и суммы другого катета и гипотенузы.

Блок - Четырёх угольники и их элементы

На первом этапе учащиеся самостоятельно работают с учебной литературой, со справочниками, пособиями по математике. Обязательными являются следующие вопросы:

1. Параллелограмм его свойства и его признаки

2. Прямоугольник и его свойства

3. Ромб и его свойства

4. Квадрат их свойства

5. Трапеция и её свойства

Обязательные результаты обучения по теме « Четырехугольники»

1.ABCD –прямоугольник. Вычислите градусную меру угла AOD (см. рис.)

2.Периметр параллелограмма равен 88 см. Одна из его сторон в 3 раза больше другой.

Найдите длины сторон параллелограмма.

3.KMPT - ромб. Вычислите градусную меру угла MPT(см. рис.).

4.Периметр прямоугольника равен 76 см. Найдите длины сторон прямоугольника, если одна его сторона на 8 см. меньше другой.

5.Сторона AD прямоугольника ABCD равна 15 см. Угол CAD равен 23⁰. Вычислите расстояние от вершины D до диагонали AC прямоугольника.

6. Диагональ AC равнобедренной трапеции ABCD равна 15 см. Угол CAD равен 37⁰. Вычислите длину высоты трапеции.

7.Высота ромба равна 24 см. Его острый угол равен 44⁰. Вычислите периметр ромба.

Рекомендуемые задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. Высота ромба делит его сторону на отрезки m и n. Найдите диагонали ромба.

Задача 2. Одно из оснований трапеции равно 24 см, а расстояние между серединами диагоналей 4 см. найдите другое основание.

Задача 3. Постройте четырёхугольник по диагоналям и углам.

Задача 4. Один из углов трапеции равен 30 градусов, боковые стороны перпендикулярны. Найдите меньшую боковую сторону трапеции, если её средняя линия равна 10 см, а одно из оснований 8см.

Задача 5. Диагонали выпуклого четырёхугольника АВСD пересекаются в точке О под прямым углом так, что АО=8 см, ВО=СО=1 см, Do=7 см. Стороны АВ и СD при продолжении пересекаются в точке М. Найдите угол АМD

Блок - Площади многоугольников

На первом этапе учащиеся самостоятельно работают с учебной литературой, со справочниками, пособиями по математике. Обязательными являются следующие вопросы

1.Площадь треугольника

2. Площадь параллелограмма

3 .Площади прямоугольника и квадрата

4.Площадь ромба

5.Площадь трапеции

Обязательные результаты обучения по теме

«Площади многоугольников».

1. Стороны AB и AC треугольника ABC равны соответственно 12см. и 18 см.

Внешний угол треугольника с вершиной A равен150^о. Вычислите площадь треугольника.

2.Вычислите площадь ромба, периметр которого равен 24 см, а угол, смежный с одним из углов этого ромба, равен 30⁰.

3.Вычислите площадь параллелограмма, смежные стороны которого равны 22 см. и 18см, а один из углов равен 150⁰.

4 .Площадь прямоугольной трапеции равна 120 см², а её высота-8 см. Одно основание трапеции на 6 см. меньше другого. Найдите:

а) длины оснований трапеции;

в) периметр трапеции.

5.Вычислите площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона и основание которого равны соответственно 15 см. и 18 см.

6.Длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника равна 8 см.Вычислите площадь этого треугольника.

Рекомендуемые задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. Основания трапеции 30 см и 12 см, диагонали 20 и 34см. Найдите площадь трапеции.

Задача 2. Выпуклом четырёхугольнике АВСDточки Е, F, Р и К- соответственно середины сторон АВ, ВС, СD и АD.Известно, что ЕР=КF. Найдите площадь четырёхугольника АВСD, если АС=15 см и ВD=20 см.

Задача 3. Диагонали четырёхугольника АВСD пересекаются в точке О Найдите площадь четырёхугольника, если известно, что площади треугольников АОВ, ВОС и СОD равны соответственно 12, 18, 24 см²

Задача 4. Внутри прямоугольника АВСD взята точка М так, что АМ= , ВМ=2 и СМ=6. Найдите площадь прямоугольника АВСD, если известно, что АD=2АВ.

Задача 5. Стороны треугольника 20, 34, 42 см. Найдите площадь вписанного прямоугольника, если известно, что его периметр равен 45 см.

Блок - Окружность и её элементы

На первом этапе учащиеся самостоятельно работают с учебной литературой, со справочниками, пособиями по математике. Обязательными являются следующие вопросы:

1. Теоремы об окружностях и треугольниках

2. Измерение углов связанных с окружностью:

а) центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается;

б) вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается;

3. Теоремы об окружностях и четырёхугольниках

Обязательные результаты обучения по теме

«Хорды. Секущие и касательные».

На первом этапе учащиеся самостоятельно работают с учебной литературой, со справочниками, пособиями по математике. Обязательными являются следующие вопросы:

1. Понятие хорды, секущей и касательной

2. Измерение углов связанных с окружностью «угол между касательной и хордой измеряется половиной дуги, заключённой между касательной и хордой»

3. Особенно уделить внимание теоремам, которые вскользь изучаются в школьном курсе геометрии. Это такие как: «У четырёхугольника, в который вписана окружность, суммы противоположных сторон равны» и «У четырёхугольника , около которого описана окружность, сумма противоположных углов равна 180 градусов

Рекомендуемые задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. АВ и СD-взаимно перпендикулярные пересекающиеся хорды окружности радиуса R. Докажите, что АС²+DВ²=4R².

Задача 2. Через данную точку А, расположенную вне данной окружности, провести прямую, касающуюся окружности

Обязательные результаты обучения по планиметрии

По теме «Хорды. Секущие и касательные»

1.Точки C и D делят окружность на дуги, градусные меры которых пропорциональны числам 5 и 7. DK – диаметр окружности. Вычислите градусные меры углов треугольника CDK

2.Хорды окружности AB и KM пересекаются в точке P. Вычислите длину отрезка KP, если PM на 9 см. меньше KP и AP=12 см, AB=19,5 см.

3.Длина окружности, описанной около квадрата равна 16 см. Найдите периметр квадрата.

4.Периметр правильного шестиугольника равен 72 см. Вычислите длину диаметра окружности, описанной около этого шестиугольника.

5.Высота правильного треугольника равна 9 см.Вычислите площадь круга, ограниченного описанной около треугольника окружностью.

6.Диаметр окружности, описанной около правильного треугольника, равен12 см.

Вычислите периметр этого треугольника.

7.Дано: MN – касательная к окружности, = 110⁰ (см.рис)

Рекомендуемые задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. Две окружности внешне касаются в точке А, ВС - их общая внешняя касательная. Докажите, что угол ВАС равен 90 градусов

Задача 2. Две равные окружности внешне касаются друг друга и третьей окружности, радиус которой равен 8 см.Отрезок, соединяющий точки касания двух равных окружностей с третьей, равен 12 см. Найдите радиусы равных окружностей.

Задача 3. Найдите углы треугольника, если известно, что центры его вписанной и описанной окружностей симметричны относительно одной из сторон треугольника .

Задача 4. Около треугольника АВС описана окружность. Через точку В проведена касательная к окружности до пересечения с продолжением стороны СА за точку А в точке D. Найдите периметр треугольника АВС, если АВ+АD=АС, СD=3, угол ВАС равен 60 градусов

Задача 5. На стороне АВ треугольника АВС как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону ВС в точкеD . Найдите АС, если известно , что СD=2 см и АВ=ВС=6 см.

Задача 6. Основания равнобедренной трапеции a и b, острый . Найдите радиус описанной окружности.

Блок - Векторы, метод координат на плоскости

На первом этапе учащиеся самостоятельно работают с учебной литературой, со справочниками, пособиями по математике. Обязательными являются следующие вопросы:

1. Сложение векторов

2. Умножение вектора на число

3. Скалярное произведение векторов

Обязательные результаты обучения по теме

«Векторы, метод координат».

1.Начертите два произвольных вектора и .Отложите от точки A вектор, равный вектору +2 .

2. Точки E и F лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD,

Причем AF=ED, BF: FC=3:1. Выразите через векторы = и = вектор:

а) , б) .

3.Дано: {2;-1}, {-3;3}, =2 - .

а) Вычислите координаты вектора .

в) Найдите длину вектора .

4.Вершины четырехугольника имеют координаты: A(4;-1), B(2;-4), C(0;-1),D(2;2).

Докажите, что четырехугольник ABCD- ромб.

5. Даны векторы и . Построй те векторы + , - , 2 .

6. Точки X и Y – середины сторон AB и BC треугольника ABC . Точка T- середина отрезка XY.

а) Выразите через векторы и = вектор ; вектор .

Рекомендуемые задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. АВ и СD-взаимно перпендикулярные пересекающиеся хорды окружности радиуса R. Докажите, что АС²+DВ²=4R².

Задача 2. Через данную точку А, расположенную вне данной окружности, провести прямую, касающуюся окружности.

Задача 3. Две окружности внешне касаются в точке С, АВ- их общая внешняя касательная. Найдите радиусы, если АС=8 см, ВС=6см.

Задача 4. Даны три окружности . Построй те точку, касательные из которой ко всем трём окружностям равны между собой.

Текущий контроль

Формы контроля теоретического материала: взаимотренаж, математические карты, опрос по листам группового контроля, тесты (Приложение 2), математические диктанты (Приложение 3).

В текущие контрольные и самостоятельные работы по основной теме добавляем задачи из курса планиметрии (приложение 2).

Задания для погружения

В работе имеется большой выбор задач по планиметрии для использования на уроках. В заданиях для домашней самостоятельной работы включены теоретический материал и образцы решения задач (Приложение1). При подготовке к ЕГЭ учащиеся используют материалы «»

Практика показывает, что учащиеся, успешно овладевая отдельными разделами геометрии, к моменту окончания курса планиметрии или стереометрии, как правило, не имеют целостной картины предмета. Это проявляется и в том, что они не имеют применять методы, развитые на одном разделе геометрии, при решении задач, относящихся формально к другим разделам. Обобщающее повторение активизирует мыслительную деятельность учащихся, развивает их математические способности, у учащихся возрастает интерес к предмету.

Заключение

Проанализировав результаты ЕГЭ, мы разработали методическое пособие, где даны рекомендации, чтобы помочь учителям в подготовке учеников к ЕГЭ, разобраться с более сложными заданиями и узнать объективный уровень своих знаний.

В помощь учителям подобран раздаточный материал: тесты, математические диктанты, проверочные контрольные работы, задачи разных уровней сложности.

Надеемся, что материал данного пособия будет полезен учителям в работе при подготовке учащихся к экзаменам в форме ЕГЭ.

Список литературы:

1. Ю.А.Глазков, И.К.Варшавский, М.Я.Гаиашвили, Задачник Математика ЕГЭ: Сборник заданий и методических рекомендаций, М. «Экзамен» 2007 стр.214.

2. В.А.Гусев, В.Н.Литвененко, А.Г.Мордкович Практиктикум по решению математических задач, М. «Просвещение», 1985г. стр.6, стр.9, стр.26

3. И.С. Герасимова, В.А.Гусев и др., Сборник задач по геометрии, М. «Просвещение»1977г. Стр.190.

4. Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, К.А.Краснянская, Г.П.Кузина, П.В.Семёнов, Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ. Матемтика, М. «Интеллект»2003г. Стр.88-89.

5. Ю.П.Дудницын, В.Л.Кронгауз, Контрольные работы по геометрии 7-9, М. «Просвещение»2006г. Стр.66.

6. Л.О.Денищева, Е.М.Бойченко, Ю.А.Глазков и др., Единый государственный экзамен 2002: Контрольные измерительные материалы, М. «Просвещение» 2002г. Стр.50-55.

7. Б.Б.Казак, А.В.Казак,Тесты по математике.-М.: ИКЦ «Мэрт» Ростов н\Д: издательство «Мэрт», 2003г. Стр84-88.

8. О.А.Коноплёва, Геометрия. Экспресс-курс подготовки к итоговой аттестации. 9класс, Санкт-Петербург «Тригон»2007г. Стр.42.

9. В.В.Кочагин, Е.М.Бойченко, Ю.В.Глазков, Математика:ЕГЭ-2007: реальные варианты, М. «АСТ:Апрель», 2007г.

10. Г.Г.Левитас, Математические диктанты. Геометрия 7-11, М. «Илекса»2006г. Стр.49.

11. В.Н. Литвененко, Практикум по решению задач в школьной математики, Геометрия., М. «Просвещение»1982г. Стр.160.

12. Б.В.Соболь, И.Ю.Виноградова и др., Пособие для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию по математике, Ростов н\Д: «Феникс», 2003г. Стр218-231.

13. В.П.Челомбитько, Математика. Весь курс: теория, задачи, решение: для выпускников и абитуриентов, М. «Эксмо» 2007г. Стр.262.

12. О.Ю.Черкасов, Математика: Интенсивный курс подготовки к экзамену, М. «Айрисс-пресс, 2006г.стр.228-235.

14. И.Ф.Шарыгин, В.И.Голубев, Решение задач: Учебное пособие для 11 кл. общеобразовательных учреждений, М. «Просвещение»1995г. Стр.130, стр.144.

15. В.А.Яровенко, Поурочные разработки по геометрии 11 класс, М. «Вако» 2007г. Стр.15.

16. В.А.Яровенко, Поурочные разработки по геометрии 10 класс, М. «Вако» 2007г. Стр.77.

16.Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе» №4 1993г. стр.24, №6 2006г. Стр.9, №2 2007г. Стр.6, №8 2007г. Стр8.

17.Учебно-методическая газета «Математика» 16/2007г. Стр.8.