Подготовка к ЕГЭ. Решение задач В4 ЕГЭ. Геометрия 11 класс

Задания - B4 ЕГЭ-2010 Автор : Уланова М.В., учитель математики МОУ Богатовская СОШ «Образовательный центр» муниципального района Богатовский Самарской области

 B4 проверяет умение выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

Вспомним формулы a = с * sin α sin α = a/c b = c * cos α cos α = b/c tg α = sin α / cos α sin2A + cos2A = 1 1+tg2A=1/cos2A a = b * tg α tg α = a/b

Задача № 1 В равнобедренном треугольнике ABC (сторона АС – основание) cosA = 4/5 , высота BH равна 12. Найти АС.

I способ Дано: BH = 12 Найти: АС = ? Cos A = AH/AB sin2A + cos2A=1 Sin2 A = 1 - (4/5)2 Sin2 A = 1 – 16/25 Sin2 A = 9/25 Sin A = 3/5 Sin A = BH/AB 3/5 = 12/AB

AB = 12*5/3 = 20 AH2 = AB2 – BH2 AH2 = 202 – 122 AH2 = 400 – 144 AH2 = 256 AH = 16 AC = 2 * 16 = 32 Ответ: 32

II способ 1 + tg2A = 1/cos2A 1+ tg2A = 1/(4/5)2 1 + tg2A = 1/16/25 1 + tg2A = 25/16 tg2A = 25/16 - 1 tg2A =9/16 tgA = 3/4 tgA = BH/AH ¾ = 12/AH AH = 4*12/3 = 16 AC = 2 * 16 = 32 Ответ: 32

Задача № 2 В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=6, sin A = 4/5. Найдите АС. Дано: АВ = 6 Sin A = 4/5 Найти: АС = ?

AH = 6:2 = 3 Sin2 A + cos2A = 1 cos2A = 1 – (4/5)2 cos2A = 16/25 – 1 cos2A = 9/25 cosA = 3/5 cosA = AH/AC 3/5 = 3/AC AC = 5 Ответ : 5

Задача № 3 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB равна 8, а Cos A = √7/4. Найдите высоту, проведенную к основанию. Дано: АВ = 8 cosA = √7/4 Найти: ВH = ?

cosA = AH/AB AH = cosA*AB AH = 8*√7/4 AH = 2√7 По теореме Пифагора: AH2 + BH2 = AB2 BH2 = AB2 – AH2 BH2 = 82 – (2√7)2 BH2=64-28 BH2 = 36 BH = 6 Ответ: 6

Задача №4 В треугольнике ABC ВС=AC=2√2 , угол C равен 45o . Найдите высоту AH. Дано: ВС=AC=2√2 угол C = 45o Найти: АH = ?

sin 45o = √2/2 sin C = AH/AC √2/2 = AH/2√2 AH = 2*2/2 AH = 2 Ответ: 2

Задача №5 В треугольнике ABC AC=BC, угол C равен 120 o, AB=2√3. Найдите AC. Дано: ВС=AC угол C = 120o AB=2√3 Найти: АH = ?

1. AH = AB/2 =2√3/2=√ 3 2. угол HCA = 1/2угол BCA=120o * ½ = 60o угол A = 30o 3. AC = AH/sin 60o = √3/√3/2 = √3*2/√3 = 2 Ответ: 2

Задача №6 В треугольнике ABC угол C равен 90o, CH — высота,AH=18, tgA= 1/3. Найдите BH. Дано: tgA= 1/3 угол C = 90o AH=18 Найти: BH = ?

CH=AH*tgA CH=18*1/3 = 6 Согласно теореме пропорциональности отрезков в прямоугольном треугольнике: BH/CH=CH/AH CH2=BH*AH – теорема BH=CH2/AH = 36/18 = 2 Ответ: 2

Задача №7 В тупоугольном треугольнике ABC AB=BC, CH — высота,AB=15,BH=3√21. Найдите синус угла ABC. Дано: AB=15 BH=3 √21 Найти: sinABC = ?

1. CH = √225-189 = √36 = 6 2. Sin α = CH/CB = 6/15 = 2/5 3. sinABC = sin(180- α) = = sin α =2/5 Ответ: 0,4

Задача №8 В тупоугольном треугольнике ABC AB=BC, CH — высота,AB=20,BH=12. Найдите синус угла ABC. Дано: AB=20 BH=12 Найти: sinABC = ?

1. По теореме Пифагора: BH2 + CH2 = BC2 CH =√BC2 - BH2 =√400-144=16 2. Sin α = CH/CB = 16/20 = 4/5 3. sinABC = 180o – α sinABC = sin(180- α)= sin α = = 4/5 Ответ: 0,8

Задача №9 В треугольнике ABC AB=BC=15,AB=6√21. Найдите синус внешнего угла при вершине B. Дано: AB=BC=20 AB= 6√21 Найти: sinCBN = ?

1. BH = AB/2 = 6√21/2=3√21 2. CH= √BC2-BH2 = =√225-189 = √36 = 6 3. sinCBN = HC/BC = 6/15 = 2/5 4. sinCBN = sin(180- α)= sin α = = 2/5 Ответ: 0,4

Задача №10 В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону AB равна 3,AD=4. Найдите синус угла B. Дано: DH=3 AD= 4 Найти: sinB = ?

sinA=3/4 угол B = 180 - угол A sinB = sin(180- A)= sin A = = 3/4 Ответ: 0,75

Задача №11 Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Боковые стороны равны 5. Найдите синус острого угла трапеции. Дано: AB=12 DC= 6 AD=CB=5 Найти: sinA = ?

1. AH = AB - AD/2 = 12-6/2=3 2. DH= √DA2-AH2 = =√25-9 = √16 = 4 3. sinA = DH/AD = 4/5 = 0,8 Ответ: 0,8

Задача №12 Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Боковые стороны равны 5. Найдите синус острого угла трапеции. Дано: AB=12 sinA=0,8 AD=CB=5 Найти: DC= ?

1. DH = AD*sinA = 5*0,8=4 2. AH= √AD2-DH2 = =√25-16 = √9 = 3 AH = NB = 3 3. DC = AB – 2AH = 12 – 6 =6 Ответ: 6

Задача №13 Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 6. Высота трапеции равна 10. Тангенс острого угла равен 2. Найдите большее основание. Дано: DC=6 tgA=2 DH=10 Найти: AB= ?

1. DH = AH*tgA AH = DH/tgA = 10/2 = 5 AH = NB = 5 2. AB = DC + 2AH = 6+10 = 16 Ответ: 16