|
Математическая загадка от Марьюшки
|
|
|
Марьюшка | Дата: Понедельник, 16.02.2015, 21:43 | Сообщение # 1 |
Марьюшка
Ранг: Первоклашка (?)
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
30 |
| Награды: |
1 |
| Статус: |
Offline |
|
Как известно, tg 85 градусов равен 11,4300...
Докажите, что значение tg 85 градусов не может быть абсолютно точно равно числу 11,43.
16.02.2015
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Вторник, 17.02.2015, 01:30 | Сообщение # 2 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Доказательство.
Спасибо за хорошую задачку!
17.02.2015
Сообщение отредактировал Александр_Игрицкий - Вторник, 17.02.2015, 01:31
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Среда, 18.02.2015, 23:18 | Сообщение # 3 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Марьюшка, вот и второй вариант решения. Несколько длиннее, но с вариантами развития. Это больше для дополнительных занятий.
Присылайте ещё. Пока праздно шатаюсь, времени вагон!
18.02.2015
Загруженные файлы:
__.docx
(26.3 Kb)
Сообщение отредактировал Александр_Игрицкий - Среда, 18.02.2015, 23:19
|
|
|
|
| |
|
|
Марьюшка | Дата: Четверг, 19.02.2015, 01:51 | Сообщение # 4 |
Марьюшка
Ранг: Первоклашка (?)
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
30 |
| Награды: |
1 |
| Статус: |
Offline |
|
К сожалению, во втором файле имеется бросающаяся в глаза ошибка: равенство
tg 40 гр. = (1 - tg 85 гр.) / (1 + tg 85 гр.)
не может быть верным, поскольку левая часть равенства положительна, а правая отрицательна. Точнее, левая и правая части равенства равны по модулю, но отличаются знаком. Правильный вид равенства:
tg 40 гр. = (tg 85 гр. - 1) / (tg 85 гр. + 1)
19.02.2015
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Четверг, 19.02.2015, 08:32 | Сообщение # 5 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Марьюшка, спасибо за внимательность.
Да, согласен. Ошибка.
Поспешил.
В работе с такими градусами проявляю бытовую и математическую небрежность.
Но, как Вы понимаете, на иррациональность это не влияет, мне в глаза совсем не бросилась и праздно шататься не мешает. Даже наоборот - вдохновляет на дальнейшие ошибки.
19.02.2015
Сообщение отредактировал Александр_Игрицкий - Четверг, 19.02.2015, 09:19
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Четверг, 19.02.2015, 08:40 | Сообщение # 6 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Исправленный вариант.
19.02.2015
|
|
|
|
| |
|
|
Марьюшка | Дата: Четверг, 19.02.2015, 17:14 | Сообщение # 7 |
Марьюшка
Ранг: Первоклашка (?)
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
30 |
| Награды: |
1 |
| Статус: |
Offline |
|
Предлагаю авторский вариант доказательства иррациональности тангенса 85 градусов:
19.02.2015
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Четверг, 19.02.2015, 20:02 | Сообщение # 8 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Марьюшка, спасибо.
Я понял.
Но мне неловко было использовать те формулы и приёмы, какие не входят в школьную программу. Здесь на форуме я предпочитаю ограничиваться тем, что можно ожидать от сильного ученика. Для моего второго мехматовского образования это очевидное утверждение. Дело-то не в этом. Дело в том, как все эти премудрости наиболее рационально донести до сильного школьника, получив по дороге как можно больше интересных результатов.
Добавлено (19.02.2015, 18:44)
---------------------------------------------
P.S. Предлагаю Вам просто для себя определить, сколько и каких знаний Вы должны предполагать имеющимися в активном наличии у школьника, чтобы он спокойно понял Ваше доказательство. Это ведь далеко не праздный вопрос.
Добавлено (19.02.2015, 20:02)
---------------------------------------------
Марьюшка, под занавес...
«Имейте в виду, что на это существует седьмое доказательство, и уж самое надежное! И вам оно сейчас будет предъявлено.»
М.А.Булгаков
Сформулируем импликацию.
Если на облачке Эффеля сидит некто Белобородый, наблюдает за всем миром, управляет им, помогает всем жить и работать, то этот мир устроен очень рационально. И всё принадлежащее этому миру должно быть рационально по определению, в том числе и НАШЕ ЧИСЛО.
Но на облачке, увы, никогошеньки нет.
Антецедент ложен.
Следовательно, существует такая-то часть мира, которая не рациональна, то есть иррациональна. Если НАШЕ ЧИСЛО уже принадлежит этой части, то оно иррационально, и доказательство закончено. Если оно осталось в оставшейся рациональной части, то к этой части снова применяем исходную импликацию.
И снова смотрим на облачко.
Снова никого…
И так далее.
...
Что осталось?
Пустяк! Применить любой известный принцип – непрерывность по Дедекинду, принцип Гейне-Бореля, лемму Коши-Кантора, принцип Больцано-Вейерштрасса….
Все наши миры вложены друг в друга и иррациональны, все они содержат НАШЕ ЧИСЛО, к которому все они и сходятся.
Какое оно?
На облачке уже кто-нибудь есть?
Нет!
НАШЕ ЧИСЛО – иррационально.
ЧТД
19.02.2015
Сообщение отредактировал Александр_Игрицкий - Пятница, 20.02.2015, 12:13
|
|
|
|
| |
|
|
Сергей_П5913 | Дата: Суббота, 21.02.2015, 18:22 | Сообщение # 9 |
| Сообщений: |
435 |
| Награды: |
1 |
| Статус: |
Offline |
|
Ради любопытства...Почему именно tg 85? а не sin 18? или любые другие и даже обратные тригонометрические, кроме немногих определённых значений. Может в общем виде вообще можно сказать что рациональные числа частный случай иррациональных. А потом пойдём дальше к комплексным. Вот у школьников и будет простор подумать о разнообразии чисел.
21.02.2015
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Суббота, 21.02.2015, 18:45 | Сообщение # 10 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Сергей_П5913, я не уверен, что кто-то вот так же достаточно легко, как найдет решение и в этом примере, построит сегодня свою теорию вещественных чисел, как это сделали, например, Кантор, Дедекинд или другие великие математики. А Вы говорите именно об этом. О расширении R до поля комплексных чисел я и не говорю.
Однако, приведенный пример требует только понимания того, что рациональное число по его определению есть просто нескократимая дробь или, что то же самое, отношение двух целых цисел с НОД=1. Ну и знание самых основных формул тригонометрии. Дальше - алгебра.
А школьники пусть Понтрягина читают.
21.02.2015
|
|
|
|
| |
|
|
Сергей_П5913 | Дата: Суббота, 21.02.2015, 19:04 | Сообщение # 11 |
| Сообщений: |
435 |
| Награды: |
1 |
| Статус: |
Offline |
|
Согласен. И по больше бы было Марьюшек в наших школах.
21.02.2015
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Суббота, 21.02.2015, 19:18 | Сообщение # 12 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата Сергей_П5913 (  ) а не sin 18?
По Вашим следам...
Не уверен, что все быстро найдут точное выражение для этого синуса.
21.02.2015
|
|
|
|
| |
|
|
Миклухо | Дата: Суббота, 21.02.2015, 19:40 | Сообщение # 13 |
Миклухо
Ранг: Профессор (?)
Группа: Я - учитель
|
| Сообщений: |
3504 |
| Награды: |
101 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата Сергей_П5913 ( ) Почему именно tg 85?
Этот угол подкупает тем, что при 4 значащих цифрах последними идут два нуля.
11.4300523028  Добавлено (21.02.2015, 19:40)
---------------------------------------------
Цитата Александр_Игрицкий ( ) Не уверен, что все быстро найдут точное выражение для этого синуса.
Наспех пришла мысль, что построение правильного пятиугольника решает вопрос.
21.02.2015
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Суббота, 21.02.2015, 19:55 | Сообщение # 14 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата Миклухо ( ) Наспех пришла мысль, что построение правильного пятиугольника решает вопрос.
Продолжайте!
21.02.2015
|
|
|
|
| |
|
|
Сергей_П5913 | Дата: Суббота, 21.02.2015, 20:02 | Сообщение # 15 |
| Сообщений: |
435 |
| Награды: |
1 |
| Статус: |
Offline |
|
Мне не очень нравится доказательства здесь: http://pedsovet.su/_fr/81/1732615.docx ,т.к. оно не привязано к определению тригонометрической функции. Оно уже в априоре содержит иррациональные числа. Может я слишком придираюсь, но надо бы начинать с рассмотрения отношения двух рациональных чисел или иррациональных.... Да, после двух нулей можно и остановиться.. А вот если бы в е или pi (есть ли редактор формул на форуме?) было бы два нуля?
21.02.2015
Сообщение отредактировал Сергей_П5913 - Суббота, 21.02.2015, 20:02
|
|
|
|
| |
|
