|
Задача о "школьной" и "университетской" гиперболах
|
|
|
Марьюшка | Дата: Суббота, 21.03.2015, 16:26 | Сообщение # 1 |
Марьюшка
Ранг: Первоклашка (?)
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
30 |
| Награды: |
1 |
| Статус: |
Offline |
|
Как известно, в школьном курсе математики учащимся, среди всего прочего, сообщается, что график функции y=1/x (обратной пропорциональности) является гиперболой. Но когда выпускники поступают в ВУЗы на специальности, тем или иным образом связанные с высшей математикой, в курсе аналитической геометрии они с удивлением узнают, что гипербола имеет четкое определение и описывается совершенно другим уравнением (т. н. каноническим), а именно x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1. Т. о., у студиозусов может возникнуть впечатление, что на свете существуют два различных вида гиперболы - "школьная" и "университетская". Однако "школьная" гипербола вполне подпадает под определение университетской - для этого только нужно подобрать соответствующую систему координат.
Без применения высшей математики докажите , что график обратной пропорциональности является гиперболой, и найдите ее полуоси и эксцентриситет, а также положения фокусов в исходной системе координат.
Желаю успеха!
21.03.2015
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Суббота, 21.03.2015, 21:06 | Сообщение # 2 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата Марьюшка (  ) Без применения высшей математики докажите , что график обратной пропорциональности является гиперболой, и найдите ее полуоси и эксцентриситет, а также положения фокусов в исходной системе координат.
Вы это серьезно??
21.03.2015
|
|
|
|
| |
|
|
Марьюшка | Дата: Суббота, 21.03.2015, 22:58 | Сообщение # 3 |
Марьюшка
Ранг: Первоклашка (?)
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
30 |
| Награды: |
1 |
| Статус: |
Offline |
|
Да, серьезно. Для доказательства потребуются лишь знания из области элементарной математики.
21.03.2015
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Суббота, 21.03.2015, 23:10 | Сообщение # 4 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата Марьюшка ( ) Да, серьезно. Для доказательства потребуются лишь знания из области элементарной математики.
В этом я не сомневаюсь.
Зачем это, вот в чём вопрос?
Смысл?
21.03.2015
|
|
|
|
| |
|
|
miflin | Дата: Воскресенье, 22.03.2015, 07:20 | Сообщение # 5 |
miflin
Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
2663 |
| Награды: |
87 |
| Статус: |
Offline |
|
С моей точки зрения вполне приемлемо следующее.
Проводим биссектрисы квадрантов, объявляем их осями x' и y'.
Элементарно (задача без звездочки) находится, что
x' = x*sqrt(2) + (y-x)/sqrt(2)
y' = (y-x)/sqrt(2)
Затем x'2 - y'2 = 2a, если y=a/x.
22.03.2015
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Воскресенье, 22.03.2015, 09:08 | Сообщение # 6 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
miflin, с моей точки зрения здесь вопрос не столько в формальном преобразовании, а немного в другом.
Объясню своё недоумение.
Цитата Марьюшка ( ) Без применения высшей математики докажите , что график обратной пропорциональности является гиперболой, и найдите ее полуоси и эксцентриситет, а также положения фокусов в исходной системе координат.
Человеку, который владеет:
1. техникой преобразования координат в общем виде;
2. знает, что такое полуоси, эксцентриситет, фокусы и прочие элементы гиперболы,
и голову не придет сомневаться в том, что автор предлагает проверить и найти. И всё это никакой высшей математики не потребует в принципе. Мы же не обсуждаем эволюты, эвольвенты и т.п.
Поэтому мне хотелось бы дождаться самого автора и получить от него разъяснения на сей счёт, поскольку ЗУН по п.1. и 2 не предполагаются у школьников. Всё это нужно предварительно объяснить, а потом ставить задачу.
Какие допустимые преобразования ждёт автор?
Что такое оси и полуоси гиперболы?
Фокус, фокусы?
Эксцентриситет?
...
Цитата Марьюшка ( ) Как известно, в школьном курсе математики учащимся, среди всего прочего, сообщается, что график функции y=1/x (обратной пропорциональности) является гиперболой.
В этом утверждении самое главное не то, что школьники увидят нечто, что можно назвать гиперболой, а то, что они видят график того, что канонически называется функцией.
Как автор предполагает объяснять школьникам, что в каноническом "университетском" виде школьная гипербола перестает быть функцией, а это уже определенная головная боль и более серьезная, чем преобразование координат?
Вот ответа на эти вопросы я и жду.
И отмахиваться от них нельзя.
22.03.2015
|
|
|
|
| |
|
|
miflin | Дата: Четверг, 26.03.2015, 09:30 | Сообщение # 7 |
miflin
Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
2663 |
| Награды: |
87 |
| Статус: |
Offline |
|
И шо я в конические сечения такой влюбленный? 
26.03.2015
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Четверг, 26.03.2015, 09:44 | Сообщение # 8 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата miflin ( ) И шо я в конические сечения такой влюбленный?
Можно подробности?
26.03.2015
|
|
|
|
| |
|
|
miflin | Дата: Четверг, 26.03.2015, 10:06 | Сообщение # 9 |
miflin
Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
2663 |
| Награды: |
87 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата Александр_Игрицкий ( ) Можно подробности?
Это как юношеские воспоминания о первой любви.
1. Простота.
Можно показать на бумажном кульке, в который бабушка насыпает семечки.
Уравнение. Особенно в полярной системе.
2. Значимость.
а) Оптика. Классические зеркальные системы телескопов: парабола (система Ньютона),
парабола+гипербола (система Кассегрена), парабола+эллипс (система Грегори).
б) Механика. Задача двух тел.
3. И вообще, всё красиво.
Потом ещё влюблялся... например, в формулу Эйлера для тригонометрических функций...
в метод коэффициента k в СТО... ещё во что-то...
Но это было потом...
P.S. Оперативного диалога, возникни он вдруг, не гарантирую, т.к. не знаю, когда в следующий раз появится доступ к сети.
Может даже завтра...
26.03.2015
Сообщение отредактировал miflin - Четверг, 26.03.2015, 10:08
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Четверг, 26.03.2015, 10:19 | Сообщение # 10 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
miflin, два слова о методе коэффициента k в СТО?
Что это такое?
26.03.2015
|
|
|
|
| |
|
|
miflin | Дата: Четверг, 26.03.2015, 13:10 | Сообщение # 11 |
miflin
Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
2663 |
| Награды: |
87 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата Александр_Игрицкий ( ) miflin, два слова о методе коэффициента k в СТО?
Что это такое?
Хотя я и проходил в универе стандартный курс СТО и ОТО, меня ещё интересовала и научно-популярная
литература по СТО. Её было много, но ни одна книжка не казалась мне удовлетворительной - кинематику СТО
либо предлагалось принять на веру, либо со ссылкой на преобразования Лоренца, которые, в свою очередь,
тоже приходилось принимать на веру. Отдельно нужно упомянуть богатую и глубокую
"Физику пространства-времени" Тейлора и Уилера, но это уже не научно-популярная книга.
Но и в этой книге инвариантность пространственно-временного интервала преподносится как данность.
И вот, в 70-е, купил "Гипотезы и мифы в физической теории" Г. Бонди, в которой излагается специфический
"метод коэффициента k". Мне этот метод показался идеальным средством для изложения кинематики СТО
"с нуля" для думающих школьников.
Я на другом форуме этот вопрос затрагивал, пытаясь "наставить на путь истинный заблудшие души". Не наставил.
Но ссылка осталась. Суть вопроса - в стартовом сообщении и сообщениях 5-6.
26.03.2015
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Четверг, 26.03.2015, 13:42 | Сообщение # 12 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
miflin, спасибо!
Я так и думал, что это от Бонди.
Тейлор-Уилер - прекрасная книга.
Еще трехтомник Гривитация - Мизнер-Торн-Уилер.
Мне нравятся и другие книги по СТО:
Борн, Паули, Бёрке, Риндлер, Гольденблатт, Терлецкий.
Лучшие, на мой взгляд, Бёрке и Мизнер.
P.S.
И безусловно "Эйнштейновские сборники"!
Мне повезло купить их все!
Супер!!
26.03.2015
Сообщение отредактировал Александр_Игрицкий - Четверг, 26.03.2015, 13:46
|
|
|
|
| |
|
