Конспект урока математики "Числа и их свойства"; 11 класс

Тема урока: Числа и их свойства.

(Практикум по решению задач №19 базового уровня ЕГЭ)

Цель урока:

1) Повторить признаки делимости.

2) формировать навыки применения признаков делимости и свойств делимости

3) способствовать развитию логического мышления, внимания, математической интуиции, умению анализировать, систематизировать, интерпретировать полученные результаты; применять знания в нестандартных ситуациях

(На занятии рассматривается решение задач №19 из базового ЕГЭ

по математике на применение признаков делимости и свойств делимости)

Материалы: Презентация, раздаточные материалы, оценочные листы,

Ход урока

1. Организационный момент.

– Здравствуйте, ребята. Садитесь.

- Ребята, наше занятие я хотела бы начать со слов Гегеля. (слайд 1)

Он говорил: «Не в количестве знаний заключается образование, а в полном понимании и искусном применении всего того, что знаешь»

- Как бы вы прокомментировали слова великого философа?

(Ответы учащихся)

- Действительно, наша с вами задача в ходе изучения математики заключается ни только в том, чтобы овладеть теоретическими знаниями, но и уметь применять полученную информацию в повседневной жизни и в вашей будущей профессии.

- Ребята, как вы думаете, в вашей будущей профессии пригодятся ли знания по математике?

(Ответы учащихся: нужно уметь быстро и правильно считать, строить графики и диаграммы, вычислять проценты, рассчитывать прибыль и убытки).

- Да, действительно роль математики значительна. Ребята, в какой бы профессии мы не были, чем бы мы не занимались, нам всем необходима умение оперировать числами. А это - основа математики.

2. Целеполагание.

- А теперь, внимание на экран. (Слайд 2) Просмотрите задания.

(Учащимся демонстрируется условия задач)

1) Вычеркните в числе 74513527 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

2) На шести карточках написаны цифры 1; 2; 3; 6; 9; 9 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении вместо каждого квадратика положили карточку из данного набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 10. В ответе укажите какую-нибудь одну такую сумму.

3) Найдите четырёхзначное число, большее 2000, но меньшее 4000, которое делится на 18 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

4) Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

- Как вы думаете, какие знания и умения нам необходимы, чтобы решить эти задания?

(Делимость чисел, признаки делимости, деление с остатком, кратность чисел, разложение чисел на множители, сравнение чисел)

- Вы же знаете, что мы не зря обратились к заданиям ЕГЭ. Давайте определим тему урока?

- А какие цели ставим для себя? (Научиться применять свойства чисел при решении различных задач)

Заслушиваются ответы учащихся, объявляется тема и формулируется цель урока

2. Актуализация

- Ребята, у вас на столе лежит оценочный лист. На этих листах вы будете оценивать свои ответы.

- А сейчас, давайте мы с вами повторим свойства чисел, которые нам пригодятся сегодня на уроке.

Устный счет.

Задание 1. Верно ли утверждение?

1. Любое число, которое делится на 9 делится и на 3.

2. Любое число, которое делится на 3 делится на 9.

3. Любое число, которое делится на 5 будет делиться на 2 и на 10.

4. Не любое число, которое делится на 2 будет делиться на 5 и на 10.

Задание 2. Продолжите предложения:

1) Если число делится на 2 и делится на 3, то ………….… (оно делится на 6)

2) Если число кратно 15, то оно………………………….... (делится на 3 и 5)

3) Если число делится с остатком на 5, то остатки ……..….(будут меньше 5-ти, то есть могут быть 0,1,2,3,4)

4) Если число делится на 4, то это число … ( n = 4k, где k — некоторое целое число).

Задание 3. Определите, какие из перечисленных чисел одновременно делятся на 4 и на 5

а) 16 830 в) 78660 б) 148 580 г) 275310

Задание 4. Определите, какие из перечисленных чисел одновременно делятся на 2, 3 и 11

а) 924 б) 693 в) 616 г) 792

Задание 5. Определите, на какие из чисел 6, 8, 9, 10,15, 18, 20,25 делится число 52620

- И так, по каким признакам вы определили делимость чисел? (Слайд 10)

(По последней цифре, по сумме цифр, по группе последних цифр)

- Делимость на какие числа определяется по последней цифре, а какие по сумме цифр и какие по группе последних цифр?

3) Решение задач. (Разбор задач ЕГЭ, фронтальная работа)

-А сейчас давайте вернемся к задачам, которых вы видели в начале урока и разберем их.

№11.5.  Вычеркните в числе 74513527 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

Решение. Если число делится на 15, то оно также делится на 3 и на 5. Поэтому в последнем разряде числа должен быть ноль или цифра пять. Тогда вычёркиваем 27. Остаётся 745135. Посчитаем сумму цифр - 25. Для того, чтобы число делилось на три необходимо, чтобы сумма цифр была кратна трём. В таком случае можно вычеркнуть цифру 1 и получить число 74535, цифру 4 и получить 75135 или вычеркнуть цифру 7 и получить число 45135.

Ответ: 74535, 75135 или 45135.

№20.  На шести карточках написаны цифры 1; 2; 3; 6; 9; 9 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении вместо каждого квадратика положили карточку из данного набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 10. В ответе укажите какую-нибудь одну такую сумму.

  Решение. Чтобы сумма делилась на 10 она должна заканчиваться на 0. Чтобы в конце суммы получить 0, можно выбрать следующие цифры: 9, 9, 2 и 1, 3, 6. Рассмотрим каждую из двух комбинаций.

Случай 1: комбинация 9, 9, 2. Остальные цифры 1, 3, 6 можно расположить таким образом: 9 + 19 + 362  =  390, 9 + 19 + 632  =  660, 9 + 39 + 162  =  210, 9 + 39 + 612  =  660, 9 + 69 + 132  =  210, 9 + 69 + 312  =  390. Заметим, что последовательность последних цифр в числах никак не влияет на результат.

Случай 2: комбинация 1, 3, 6. Остальные цифры 2, 9, 9 можно расположить таким образом: 1 + 23 + 996  =  1020, 1 + 93 + 926  =  1020, 1 + 93 + 296  =  390.

Ответ: 210, 390, 660, 1020.

№21.  Найдите четырёхзначное число, большее 2000, но меньшее 4000, которое делится на 18 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение. Если число делится на 18, то оно делится одновременно и на 9, и на 2. Из признака делимости на 2 следует, что число должно быть четным. Из признака делимости на 9 следует, что сумма цифр числа должна делиться на 9.

Представим искомое число в виде abcd. Рассмотрим случаи, когда a = 2 и

a = 3.

Пусть a = 2. Тогда последняя цифра может быть либо 6, либо 8 (из условия, что каждая следующая цифра больше предыдущей). Если последняя цифра 6, то сумма двух цифр составляет 8, значит, что сумма двух оставшихся цифр должна равняться 10, что невозможно подобрать из оставшихся возможных цифр 3, 4 или 5. Если последняя цифра 8, то сумма двух оставшихся цифр составляет 8, что возможно - число 2358.

Пусть a = 3 и тогда единственным подходящим числом может быть 3456, и оно удовлетворяет всем условиям.

Пусть тогда сумма двух цифр равна 11. Чтобы число делилось на 9, сумма цифр числа должна равняться 18, 27 и т. д. Чисел, удовлетворяющих всем условиям в данном диапазоне нет. Ответ: 2358, 3456.

№ 4. Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение. Произведение 24 дают следующие наборы из четырех цифр: 8, 3, 1, 1, или 6, 2, 2, 1, или 6, 4, 1, 1, или 4, 3, 2, 1, или 3, 2, 2, 2. Чтобы число делилось на 22, оно должно делиться и на 2, и на 11. Следовательно, это четное число  - оно заканчивается четной цифрой. Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Для первого, второго и пятого наборов суммы цифр нечетные, следовательно, суммы цифр, стоящих на четных и нечетных местах, не могут быть равны; они не могут также отличаться на 11 ни при какой перестановке цифр. Рассматривая третий и четвертый наборы, находим числа, удовлетворяющие всем условиям: 4312, 3124, 2134, 1342.

Ответ: 4312, 3124,2134,1342.

3) Работа в парах.

- А как бы вы решили задачи такого вида?

1.  Найдите пятизначное число, кратное 25, соседние цифры которого отличаются на 2. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение. Вспомним признак делимости на 25 - число делится на 25, если оно заканчивается на комбинации цифр: 00, 25, 50, 75. Из признака следует, что наше число заканчивается на 75, так как разность этих чисел равна 2. Также ясно, что число не может начинаться с нуля. Наше число принимает вид 1ab75, где исходя из условия становится понятно, что a = 3, тогда b = 5. Запишем искомые числа 13575, 53575, 57575, 97575, 57975, 97975.

2. Найдите трехзначное натуральное число, большее 600, которое при делении на 4, на 5 и на 6 дает в остатке 3, и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение. При делении на 4 число даёт в остатке 3, следовательно, оно нечётное. Поскольку число при делении на 5 даёт в остатке 3, то оно может оканчиваться на 3 или на 8. Таким образом, число обязательно должно заканчиваться цифрой 3. Подбором находим, что условию задачи удовлетворяют числа 963, 843. Ответ: 843 или 963.

Другое решение. Число имеет одинаковый остаток при делении на 4, 5 и 6, а значит, будет иметь тот же остаток при делении на наименьшее общее кратное этих чисел - число 60. Таким образом, число имеет вид где Перебирая k, получаем следующие семь трёхзначных чисел: 603, 663, 723, 783, 843, 903, 963. Выберем из них те, цифры которых расположены в порядке убывания, это числа 843 и 963 (в числе 663 есть одинаковые цифры, поэтому нельзя сказать, что они расположены в порядке убывания).

4) Самостоятельная работа.

- А сейчас, ребята, самостоятельная работа.

1.(11.1) Вычеркните в числе 23462141 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение. Если число делится на 12, то оно также делится на 3 и на 4. Если число делится на 4, то число, образованное двумя последними цифрами исходного числа, также делится на 4. Поэтому на конце не может быть нечётной цифры, и с конца мы точно вычёркиваем 1. Остаётся 2346214. Число делится на 3, если сумма цифр делится на 3. То есть нужно вычеркнуть ещё две цифры так, чтобы число, образованное двумя последними цифрами исходного числа, также делилось на 4 и при этом сумма цифр числа равнялась 3. Число 14 на 4 не делится, поэтому также обязательно нужно вычеркнуть цифру 1. Теперь будем вычёркивать числа так, чтобы сумма цифр числа делилась на 3. Таким образом, получаем числа 23424, 24624.  Ответ: 23424, 24624.

2. (20.2) На шести карточках написаны цифры 5; 5; 6; 7; 8; 9 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении вместо каждого квадратика положили карточку из данного набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 10, но не делится на 20. В ответе укажите какую-нибудь одну такую сумму.

Решение. Чтобы сумма делилась на 10 она должна заканчиваться на 0. Чтобы сумма не делилась на 20, вторая цифра с конца не должна быть четной (делиться на 2). Чтобы в конце суммы получить 0, можно выбрать следующие цифры: 5, 7, 8 и 5, 6, 9. Рассмотрим каждую из двух комбинаций.

Случай 1: комбинация 5, 7, 8. Среди оставшихся цифр 5, 6, 9  — две нечетные и одна четная. Чтобы получить вторую цифру нечетную, нужно взять одну четную (6) и одну нечетную цифры (5 или 9) во втором разряде (к нечетной сумме будет добавляться 2 от суммы цифр в 1 разряде). Тогда получаем: 5 + 67 + 958 = 1030 и 5 + 97 + 568 = 670. Заметим, что последовательность последних и предпоследних цифр в числах никак не влияет на результат.

Случай 2: комбинация 5, 6, 9. Среди оставшихся цифр 5, 7, 8  — две нечетные и одна четная. Чтобы получить вторую цифру нечетную, нужно взять одну четную (8) и одну нечетную цифры (5 или 7) во втором разряде (к нечетной сумме будет добавляться 2 от суммы цифр в 1 разряде). Тогда получаем: 5 + 86 + 579 = 670 и 5 + 56 + 789 = 850.

Ответ: 670, 850 или 1030.

3. (5.5) Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого равно 10. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение. Число делится на 12, а значит, делится на 3 и на 4. А это значит, что сумма его цифр делится на 3 и число, образованное последними двумя цифрами, делится на 4. Пусть наше число имеет вид abcd, тогда условия записывается так:

Только один набор цифр является решением третьего уравнения, а именно (1, 1, 2, 5). Из этих значений d может принимать только значение 2, иначе последнее уравнение не будет иметь решений. Остальные цифры могут принимать любые из оставшихся значений. Выпишем все подходящие числа: 1152, 1512, 5112.  Ответ: 1152, 1512 или 5112.

Другое решение. Обозначим четырехзначное число АВСD. Разложим 10 на простые множители 10 = 2 * 5. По условию задачи произведение цифр искомого числа равно 10. Значит, А * В * С * D = 10. Учитывая разложение 10 на простые множители, заключаем, что какая-то одна цифра должна быть 2 и какая-то одна цифра должна быть 5. И следовательно, оставшиеся 2 цифры должны быть 1. Так как число делится на 12, то оно должно делиться на 3 и на 4. Сумма цифр наших чисел будет 2 + 5 + 1 + 1 = 9 и делится на 3, т.е. условие выполняется по признаку делимости на 3. По признаку делимости на 4, т.к. цифры нашего числа не нулевые, последние 2 цифры должны образовывать число, делящееся на 4.

Кроме того, заметим, что число должно быть четным. Из цифр 1, 2, 5 можно составить двузначное число делящееся на 4 двумя способами: 12 и 52.

Укажем возможные варианты числа: 1512, 5112, 1152.

Ответ: 1512, 5112, 1152

- Если закончили, давайте проверим ответы. (На слайде)

- И оценим свои знания на оценочных листах.

5) Домашнее задание

В сборнике типовых экзаменационных вариантов выбрать три задания такого типа, с которым разобрались лучше всего, и выполнить в домашних тетрадях.

6) Рефлексия. Оценки.

- Надеюсь наш сегодняшний урок не прошел даром. Как видите у вас есть хорошие основы для решения заданий №19 единого государственного экзамена на базовом уровне.

(Слайд притча)

Ребята, в любой притче скрывается жизненная мудрость. Прочитайте, пожалуйста, старинную восточную притчу «19 верблюдов» и ответьте мне, какая мудрость скрывается в этой притче?

Старинная восточная притча:

Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трем сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвертую часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.

- О, мудрец!- сказал старший брат. - Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о, достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?

- Нет ничего проще, - ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите домой.

Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5. Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19). Раздосадованные, братья вернулись к мудрецу и пожаловались:

- О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний.

- Это не лишний, - сказал мудрец,- это мой верблюд. Верните его и идите домой.

(Заслушиваются ответы учащихся)

- Знание основ математики, в частности свойств чисел упрощает нам жизнь, порой нерешаемых проблем.

- На этом наш урок закончен. Хочу пожелать вам удачи и успеха на экзамене.

Спасибо за урок.