Презентация к уроку алгебры "Уравнения, приводимые к квадратным", 9 класс

АЛГЕБРА 9 КЛАСС Урок разработала учитель математики и информатики МОУ ВСОШ № 1 Косолапова Елена Васильевна

«Люди не знакомые с алгеброй не могут представить себе тех удивительных вещей, которых можно достигнуть при помощи названной науки» /Г.В. Лейбниц/

1. Какие уравнения называются квадратными? Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2 + bх + с = 0, 0 где х – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем а  0. 0 2. Среди данных уравнений выберите те, которые являются квадратными? 1) 3х – 4 = х + 10 2) х2 – 5х = 0 3) 2х + 6х2 = 0 4) х3 – 2х2 – 3 = 12 5) 5х2 – 2х + 6 = 0

Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? Если в квадратном уравнении ах2 + bх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Среди данных уравнений выберите те, которые являются неполными квадратными уравнениями? 1) 3х – 4 = х + 10 2) х2 – 5х = 0 3) 2х + 6х2 = 0 4) х3 – 2х2 – 3 = 12 5) 5х2 – 2х + 6 = 0

Какие из следующих уравнений мы умеем решать, объясните прием решения каждого из этих уравнений: 1) 3х – 4 = х + 10 2) х2 – 5х = 0 3) 2х + 6х2 = 0 4) 5х2 – 2х + 6 = 0 5) ( х2 + 3х + 2 ) (х2 + 3х + 4 ) = 48 6) х4 – 5х2 – 36 = 0

Решение уравнений, приводимых к квадратным

Выпишем уравнение: ( х2 + 3х + 2 ) (х (х2 + 3х + 4 ) = 48. х4+6х3+15х2+18х – 40 = 0 Посмотрите внимательно на исходное уравнение, какой особенностью оно обладает? Переменная х входит только в выражение х2+3х

(х2+3х+2) (х2+3х+4) = 48 1 Ввести новую шаг переменную у, которой обозначить повторяющееся выражение х2+3х. +3х Пусть у = х2+3х

(х2+3х+2) (х2+3х+4) = 48 1 Ввести новую шаг переменную у, которой обозначить повторяющееся выражение х2+3х. +3х Записать получившееся уравнение Решить уравнение 2 шаг относительно новой переменой Пусть у = х2+3х, тогда (у+2)(у+4) = 48 у2 + 4у + 2у + 8 – 48 = 0 у2 + 6у – 40 = 0 у1 = – 10 , у2 = 4.

(х2+3х+2) (х2+3х+4) = 48 1 Ввести новую шаг переменную у, которой обозначить повторяющееся выражение х2+3х. +3х Записать получившееся уравнение 2 Решить уравнение шаг относительно новой переменой Вернуться к первона3 чальной переменной х, шаг подставив найденные значения вместо введенной переменной. Пусть у = х2+3х, тогда (у+2)(у+4) = 48 у2 + 4у + 2у + 8 – 48 = 0 у2 + 6у – 40 = 0 у1 = – 10 , у2 = 4. х2+3х = –10 или х2+3х = 4 х2+3х+10=0 х2+3х – 4=0 D= - 4·10 = -31 х1=1; D=9 D < 0, х2 = – 4. Корней нет Ответ: – 4, 1. 1

х4 – 5х2 – 36 = 0 Уравнения вида ax4 + bx2 + c = 0 , где а  0 являющиеся квадратными относительно х2, называют биквадратными уравнениями. уравнениями БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ – от би – два и латинского quadratus – квадратный, квадратный т.е. дважды квадратные. Решение биквадратных уравнений приводится к решению квадратных уравнений подстановкой у = х2.

МЕТОД ВВЕДЕНИЯ НОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ х4 – 5х2 – 36 = 0 1 Ввести новую переменшаг ную у, которой обозна- Пусть у =______, тогда х2 чить повторяющееся _______________ 2 у – 5у – 36 = 0 2 выражение х . Записать получившееся уравнение 2 Решить уравнение шаг относительно новой переменой 3 Вернуться к первонашаг чальной переменной х, подставив найденные значения вместо введенной переменной. D = 25 + 4·36 = 169, D >0, 2 корня у1 = 9, у2 = – 4 х2 = 9 х2 = - 4 ____________ или ____________ х1 = 3 Корней х2 = – 3 нет Ответ: 3; – 3

Почему в теме есть словосочетание «приводимые к квадратным»?

КАРТОЧКА № 2 Запишите уравнение, полученное в результате введения новой переменной (7х2+2х–3) (7х2+2х+5)=16 пусть у=_______, 7х2+2х тогда_____________ (у–3) (у+5)=16 (х2+3х+1)2+4(х2+3х+1) – 6 = –1 х2+3х+1 пусть у=_______, у2+4у – 6 = –1 тогда_____________ 3х–5 (3х–5)2 – 4(3х–5)=12 пусть у=_______, у2 – 4у = 12 тогда_____________ 2 3х2+5х (3х2+5х+2)(3х +5х–5) –5=16 пусть у=_______, (у+2)(у–5) –5=16 тогда_____________ 2 х4 – 25х2 + х144 =0 пусть у=_______, у2 – 25у + 144 = 0 тогда_____________ 16х4 – 8х2 +х21 = 0 пусть у=_______, 16у2 – 8у + 1 = 0 тогда_____________

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Решить уравнения: первая буква – I вариант, вторая буква – II вариант : № 222 (б, в), № 223 (а, в) Результаты выполнения можно проверить с помощью компьютера – Программа ALGEBRA (вводим коэффициенты биквадратного уравнения и получаем ответ).

№ 222 (б, в) б) у4 – 6у2 + 8 = 0 х2 – 6х + 8 = 0 Ответ: -2; 2; - 2 ; 2 № 223 (а, в) а) х4 – 25х2 + 144 = 0 у2 – 25у + 144 = 0 Ответ: -3; 3; - 4; 4 в) t4 + 10t2 + 25 = 0 у2 + 10у + 25 = 0 Ответ: корней нет /у = - 5 / в) х4 – 4х2 + 4 = 0 у2 – 4у + 4 = 0 Ответ: - 2 ; 2

Каким методом мы сегодня решали уравнения? В чем идея метода введения новой переменной?

Если ты в жизни хотя на мгновенье Истину в сердце своем ощутил. Если луч света сквозь мрак и сомненье Ярким сияньем твой путь озарил: Чтобы в решеньи своем неизменном Рок не назначил тебе впереди. Память об этом мгновенье священном Вечно храни, как святыню в груди. Тучи сберутся громадой нестройной. Небо покроется черною мглой, С ясной решимостью, с верой спокойной. Бурю ты встреть и померься с грозой. Ковалевская Софья Васильевна математик, писатель и публицист, первая женщина-профессор, членкорреспондент Петербургской АН (1889).

Информация о домашнем задании п. 11 № 221 (а, б); № 223 ( г – е)

Карточка розового цвета обозначает: “Я удовлетворён уроком, урок был полезен для меня, я много, с пользой и хорошо работал на уроке, и получил заслуженную оценку, я понимал всё, о чём говорилось и что делалось на уроке”. Карточка зеленого цвета обозначает: “Урок был интересен, я принимал в нём активное участие, урок был в определённой степени полезен для меня, я отвечал с места, я сумел выполнить ряд заданий, мне было на уроке достаточно комфортно”. Карточка желтого цвета обозначает: “Пользы от урока я получил мало, я не очень понимал, о чём идёт речь, мне это не очень нужно, домашнее задание я не понял, к ответу на уроке я был не готов”.

Используемые материалы: 1. Рисунки - http://images.yandex.ru 2. Материал к презентации: учебник алгебры 9 класса /Ю.Н. Макарычев и др./ 3. И.Д. Агеева «Занимательные материалы по информатике и математике» / Методическое пособие. М: ЕЦ Сфера, 2006240с/