Презентация по информатике "Алгебра высказываний" для 11 класса

Основы логики Алгебра Алгебравысказываний высказываний Автор: Автор: Сергеев Сергеев Евгений Викторович Евгений Викторович МОУ СОШ №4 г. Миньяра МОУ СОШ №4 г. Миньяра Челябинской области Челябинской области sergeev73@mail.ru sergeev73@mail.ru http://shk4-minyar.ucoz.ru http://shk4-minyar.ucoz.ru

Алгебра высказываний Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание

Логические переменные Логические переменные – простые высказывания, содержащие только одну мысль. Обозначаются буквами латинского алфавита: A, B, C… Логические переменные могут принимать лишь два значения: «ИСТИНА» (1) или «ЛОЖЬ» (0)

Логические переменные Например, два простых высказывания: А = «2  2 = 4» истина (1) В = «2  2 = 5» ложь (0) являются логическими переменными А и В

В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: «ИСТИНА» (1) или «ЛОЖЬ» (0)

В алгебре высказываний над логическими переменными (над высказываниями) можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые высказывания

Составные высказывания Высказывания, состоящие из нескольких простых суждений и содержащие в себе более, чем одну простую мысль, называются логическими функциями Обозначаются F(A,B,C…) Также могут принимать значения «ИСТИНА» или «ЛОЖЬ» в зависимости от того, какие значения имеют входящие в их состав логические переменные и от действий над ними

Логические операции  Конъюнкция (логическое умножение, «И»)  Дизъюнкция (логическое сложение, «ИЛИ»)  Инверсия (логическое отрицание, «НЕ»)  Импликация (логическое следование, «Если А, то В»)  Эквивалентность (логическое равенство, «А тогда и только тогда, когда В»)

Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза «И» называется операцией логического умножения, или конъюнкцией

Логическая функция, полученная в результате конъюнкции, истинна тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него логические переменные

Конъюнкция. Определите истинность логической функции 1) 2) 3) 4) «2  2 = 5» «2  2 = 5» «2  2 = 4» «2  2 = 4» И И И И «3  3 = 10» «3  3 = 9» «3  3 = 10» «3  3 = 9» Истинна только функция (4)

Запись конъюнкции на формальном языке алгебры высказываний F(A,B) = A & B или F(A,B) = A  B Также может встретиться запись, типа: F(A,B) = A * B или F(A,B) = A and B

Значение логической функции определяется по ее таблице истинности Таблица истинности показывает какие значения принимает логическая функция при всех возможных значениях логических переменных

Таблица истинности для конъюнкции A B 2  2 = 5 3  3 = 10 22=5 33=9 2  2 = 4 3  3 = 10 22=4 33=9 A B ЛОЖЬ ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА

Таблица истинности для конъюнкции A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A B 0 0 0 1

Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ» называется операцией логического сложения, или дизъюнкцией

Логическая функция, полученная в результате дизъюнкции, истинна тогда, когда истинна хотя бы одна из входящих в него логических переменных

Дизъюнкция. Определите истинность логической функции 1) 2) 3) 4) «2  2 = 5» «2  2 = 5» «2  2 = 4» «2  2 = 4» ИЛИ «3  3 = 10» ИЛИ «3  3 = 9» ИЛИ «3  3 = 10» ИЛИ «3  3 = 9» Ложна только функция (1), остальные истинны

Запись дизъюнкции на формальном языке алгебры высказываний F(A,B) = A  B Также может встретиться запись, типа: F(A,B) = A + B или F(A,B) = A or B

Таблица истинности для дизъюнкции A B 2  2 = 5 3  3 = 10 22=5 33=9 2  2 = 4 3  3 = 10 22=4 33=9 A B ЛОЖЬ ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА

Таблица истинности для дизъюнкции A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A B 0 1 1 1

Присоединение частицы «НЕ» к высказыванию называется операцией логического отрицания, или инверсией

Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным, а ложное – истинным [логическая отрицательная единица, перевертыш]

Инверсия Пусть A = «2  2 = 4» – истинное высказывание, тогда F(A) = «2  2 ≠ 4» – ложное высказывание

Запись инверсии на формальном языке алгебры высказываний F(A) = ¬A или F(A) = Ā Также может встретиться запись, типа: F(A) = not А

Таблица истинности для инверсии А 0 1 ¬А 1 0

Таблицы истинности основных логических функций Логическое умножение Логическое сложение A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 АВ 0 1 1 1 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A B 0 0 0 1 Логическое отрицание A 0 1 ¬A 1 0

Дополнительные логические функции Импликацию и эквивалентность можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание, поэтому их называют дополнительными логическими функциями: Импликация: А → В = ¬A  В или А  В = ¬A  В или А  В = ¬A  В Эквивалентность: А ↔ В = (¬A  В)  (¬B  A) или А  В = (¬A  В)  (¬B  A) или А ≡ В = (¬A  В)  (¬B  A)

Импликация Объединение двух высказываний, из которых первое является условием, а второе – следствием из него, называется импликацией (логическим следованием)

Импликация Импликация ложна тогда и только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно Пример: Если выучишь материал, то сдашь зачет Это высказывание ложно только тогда, когда материал выучен, а зачет не сдан, т.к. сдать зачет можно и случайно, например если попался единственный знакомый вопрос или удалось воспользоваться шпаргалкой

Таблица истинности для импликации A B A→B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

Эквивалентность Эквивалентность – это логическая операция, объединяющая два простых высказывания в одно составное и которое является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно либо истинны, либо ложны.

Таблица истинности для эквивалентности A B A B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Основные законы алгебры высказываний Переместительный Дизъюнкция: XY ≡YX Конъюнкция: XY ≡YX

Основные законы алгебры высказываний Сочетательный Дизъюнкция: X  (Y  Z) ≡ (X  Y)  Z Конъюнкция: X  (Y  Z) ≡ (X  Y)  Z

Основные законы алгебры высказываний Распределительный Дизъюнкция: X  (Y  Z) ≡ X  Y  X  Z Конъюнкция: X  (Y  Z) ≡ (X  Y)  (X  Z)

Основные законы алгебры высказываний Правила де Моргана Дизъюнкция: ¬(X  Y) ≡ ¬X  ¬Y Конъюнкция: ¬(X  Y) ≡ ¬X  ¬Y

Основные законы алгебры высказываний Идемпотенции Дизъюнкция: XX≡X Конъюнкция: XX≡X

Основные законы алгебры высказываний Поглощения Дизъюнкция: X  (X  Y) ≡ X Конъюнкция: X  (X  Y) ≡ X

Основные законы алгебры высказываний Склеивания Дизъюнкция: (X  Y)  (¬X  Y) ≡ Y Конъюнкция: (X  Y)  (¬X  Y) ≡ Y

Основные законы алгебры высказываний Переменная со своей инверсией Дизъюнкция: X  ¬X ≡ 1 Конъюнкция: X  ¬X ≡ 0

Основные законы алгебры высказываний Операция с константами Дизъюнкция: X  0 ≡ X, X1≡1 Конъюнкция: X  0 ≡ 0, X1≡X

Основные законы алгебры высказываний Двойного отрицания ¬(¬X) ≡ X

Порядок действий 1. 2. 3. 4. 5. 6. Действия в скобках Отрицание Конъюнкция Дизъюнкция Импликация Эквивалентность