Статья "Роль устных вычислений в формировании устойчивого вычислительного навыка у младших школьников"

Роль устных вычислений

в формировании устойчивого вычислительного навыка у учащихся 1 – 4 классов.

I.Роль устных вычислений в обучении математики.

У младших школьников большой интерес вызывает устный счет на уроках математики

Сформировать у учащихся устойчивый вычислительный навык - одна из основных задач обучения математике в начальных классах. Большое внимание этому уделяется в программе по математике для начальных классов, в которой определена задача повышения качества обучения детей математике, и в первую очередь формирования прочных навыков счета, осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений.

Формирование у детей сознательных и прочных навыков устных и письменных вычислений необходимо для того, чтобы подготовить их к усвоению курса математики в старших классах.

Основные принципы формирования вычислительных навыков:

1. Рациональное использование различных форм наглядности в процессе формирования навыков и правильное соотношение между теорией и практикой вычислений.

2. Систематическое и распределенное во времени закрепление и совершенствование формируемых навыков.

3. Систематический контроль за уровнем овладения навыками класса в целом и каждым учеником в отдельности, обеспечение на этой основе дифференциации и индивидуализации обучения.

4. Специальное внимание учителя к формированию у школьников умений и навыков самоконтроля.

Устный счет возбуждает большой интерес к вычислениям вообще, воспитывает математическую находчивость и сообразительность, развивает внимание и укрепляет память. Школьная практика показала, что разграничение приемов устного и письменного счета не оправдывает себя. Устные вычисления имеют огромное значение для овладения навыками письменных действий: сложения, вычитания, умножения и деления.

При выполнении устных вычислений учащемуся предоставляется возможность выбирать те или иные приемы. Это развивает наблюдательность, смекалку. Например: 19+22+21+18.

Пример можно решить различными способами:

А) сложить отдельно десятки и отдельно единицы: (10+20+20+10)+(9+2+1+8)

Б)Сложить последовательно: ((19+22)+21)+18

В) можно округлить 18 и 19: 20+22+21+20-1-2

Г) Можно переставить слагаемые: 19+21+22+18

Письменные вычисления основаны на определенных приемах действий и часто производятся однообразно, по шаблону. В устных вычислениях нет готового шаблона, приемы вычислений разнообразны. В этих случаях мысль ученика работает интенсивно, творчески. Например, надо сложить числа 425

+ 189

175

Письменное решение этого примера основано на знании таблицы сложения и правила сложения многозначных чисел.

Если предложить этот пример учащимся для устного вычисления, то им потребуется применить переместительный и сочетательный законы сложения.

425 +189 +175=(425+175)+89=600+189=789

В этом случае устный счет несет образовательную функцию.

Значение устного счета велико и для привития детям любви и интереса к математике, для привлечения к общей работе отстающих детей.

Правильная постановка занятий устным счетом предполагает в начальных классах непродолжительные, от 5 до 10 минут, упражнения ы устных вычислениях, которые можно разбить на группы:

1.Устные вычисления, не сопровождаемые записями (беглый слуховой счет).

2.Устные вычисления, сопровождаемые предварительной записью примеров (зрительный счет)

3.Устные вычисления с последующей записью результатов произведенных вычислений (комбинированная форма счета).

4.Устное решение задач.

5.Устные вычисления с элементами занимательности, математические игры, логические задачи.

Устные вычисления нужно проводить регулярно, в определенной последовательности, которая определяется программой начальной школы.

В 1 классе должны быть твердо усвоены таблицы сумм и разностей сначала в пределах 10, а потом 20.

Во 2 классе изучаются полностью таблицы умножения и деления, усваиваются основные приемы сложения и вычитания чисел в пределах100

В 3 классе изучаются основные приемы внетабличного умножения и деления.

В 4 классе параллельно с усвоением письменных приемов вычислений на протяжении всего года обучения ведутся регулярно.

навыков, которыми должны овладеть учащиеся начальной школы, видно, что занятия устным счетом должны проводиться по определенной программе.

Занятия устным счетом требуют от учителя постоянной личной практики в счете, твердого знания основных приемов устного счета, умения организовать счетный материал, подбирать и составлять задачи для устного счета.

Бывая на уроках коллег, анализируя свои уроки математики, я пришла к выводу, что иногда занятия устным счетом ведутся между делом, не связано с изучаемым материалом. Приемы работы однообразны и утомительны, отсутствуют устные задачи, наглядных пособий и дидактического материала под руками нет.

И я решила, что необходимо систематизировать материал для устного счета, применять его на разных этапах урока в связи с изучаемым материалом.

Совершенствование навыков устных вычислений вао многом зависит от того, на сколько сами дети проявляют интерес к этой форме работы. Этот интерес я решила вызвать, показав учащимся красоту и изящество устных вычислений, используя не совсем обычные вычислительные приемы, помогающие облегчить процесс вычисления.

Эти приемы вычислений могут быть преподнесены в виде занимательных заданий. Учащимся нравится решать логические задачи, задачи в стихах, задачи-шутки, сказочные задачи. Это тоже способствует развитию внимания, интереса к математике.

Не следует забывать о том, что вычислительные умения и в особенности навыки, без систематического обращения к ним ослабевают. А поэтому, чтобы время и усилия учмтеля и учащихся не были затрачены впустую, чтобы вычислительные умения не становились препятствием к формированию знаний и умений, задаваемых программой изучаемого предмета, нужно в системе математической подготовки учащихся предусмотреть меры для поддержания уровня вычислительных умений учащихся, а при необходимости и его восстановления. Важная роль в решении этого вопроса принадлежит учителю.

II. Приемы устного счета.

Приемы устных вычислений помогают глубже усвоить теорию курса математики. Они основаны на законах и свойствах арифметических действий, свойствах изменения результатов действий в зависимости от изменения компонентов, формулах сокращенного умножения , т.е. теоретическом материале школьной программы.

« Вычислительным приемом называется ряд последовательных операций (система операций), выполнение которых приводит к нахождению результата арифметического действия над данными числами».

Например, пусть надо 14 умножить на 6. С этой целью надо выполнить такие операции:

- заменить число 14 суммой разрядных слагаемых 10 4

- умножить первое слагаемое 10 на 6, получится 60

- умножить второе слагаемое 4 на 6, получится 24

- сложить полученные результаты 60 и 24, получим 84.

Здесь предусмотрены такие операции и такой порядок их введения, выполнение которых приводит к нахождению результата. При этом система операций определялась соответствующим теоретическим положением – в данном случае распределительным свойством умножения.

В большинстве случаев для нахождения результата арифметического действия можно использовать в качестве теоретической основы различные теоретические положения , что приводит к разным приемам вычислений.

Операции, составляющие вычислительный прием, имеют разный характер. Многие из них сами являются арифметическими действиями. Эти операции играют особую роль в овладении учащимися вычислительными навыками, а именно: выполнение приема в свернутом плане сводится к выделению операций, являющихся арифметическими действиями. Такие операции называют основными, а все другие вспомогательными. Например: в приеме для случая 14 умножить на 6, операция замены числа 14 суммой разрядных слагаемых- вспомогательная, а все остальные – основные. Все операции, составляющие прием, одинаково важны.

В современных условиях, когда требуется сформировать осознанные вычислительные навыки, целесообразно прежде всего выделить группы вычислительных приемов по общности их теоретической основы. Поскольку теоретическая основа является направляющей в системе операций для целого ряда вычислительных приемов. Такая классификация послужит целям построения эффективной системы изучения вычислительных приемов каждой группы и всей совокупности приемов.

Вычислительные приемы можно разделить на 6 групп:

• Вычислительные приемы, теоретической основой которых является конкретный смысл арифметических действий.

К ним относятся приемы следующих случаев:

1. Приемы сложения и вычитания чисел в пределах 10 для случаев вида: а+ -1, а +-2,

а+-3,а+-4, а+-0

2.прием нахождения табличных результатов деления и деления с остатком

3. прием нахождения табличных результатов умножения

4. прием умножения единицы и нуля на натуральное число

• Вычислительные приемы, теоретической основой которых служат свойства арифметических действий. К этой группе относится большинство вычислительных приемов.

1.приемы сложения и вычитания для случаев вида: 2+8, 64 +-20,56+-4,70-8, 9+5, 14-6, 57+-6, 60+-17, 75+-43 и аналогичные приемы для случаев сложения и вычитания чисел больше 100.

2.приемы сложения и вычитания для случаев вида 7409+-5836 (приемы письменного сложения и вычитания)

3.приемы умножения и деления для случаев вида 19х3, 3х19, 91:7, 36х40, 360:40 и аналогичные приемы над большими числами.

4. приемы умножения и деления многозначных чисел на однозначные числа, разрядные двузначные и трехзначные (приемы письменного умножения и деления).

• Вычислительные приемы, теоретической основой которых являются математические положения о связях между компонентами и результатами арифметических действий.

• К ним относятся:

1.прием вычитания чисел в пределах 10, когда вычитаемое не меньше, чем 5.

2.прием табличного деления 24:6

3.прием внетабличного деления для случаев вида: 60:30, 51:17, и аналогичные приемы для чисел больше 100

4. прием деления на единицу

5.прием деления нуля

• Вычислительные приемы, теоретической основой которых являются математические положения об изменении результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов. К этой группе относятся:

1.приемы сложения и вычитания чисел, близких к «круглым» (46+19), (612-298).

2 приемы умножения и деления чисел на 5, 25. 50.Эти приемы называют приемами округления чисел.

• Вычислительные приемы, теоретической основой которых служат теоретические положения, относящиеся к нумерации чисел. В эту группу входят такие приемы:

1.прибавление и вычитание единицы

2.выполнение действий сложения и вычитания над разрядными слагаемыми числа: 10+8, 8+10, 18-10,18-8.

3.умножение и деление на 10

• Вычислительные приемы, теоретическая основа которых – правила.

Эта группа включает приемы:

1.сложение вычитание с числом ноль

2.умножение и деление на 1

3. умножение и деление с числом ноль

Эти группы приемов охватывают все случаи вычислений, изучаемых в начальных классах.

Случаи вычислений принято так же делить на устные и письменные. К устным относятся случаи выполнения арифметических действий над числами в пределах ста и аналогичные случаи вычислений над числами большими ста, которые легко сводятся к случаям вычислений над числами в пределах 100. Например, для случая 8+6, аналогичными будут 80+60, 800+600 и т.д. К письменным вычислениям относятся случаи выполнения арифметических действий над числами большими ста, приемы для которых не сводятся к приемам вычислений над числами в пределах 100. Вычислительные приемы для соответствующих случаев принято называть устными и письменными.. Эти приемы вычислений различаются еще и тем, что случаи устных вычислений в ряде случаев допускают использование различных способов, тогда как письменные вычисления выполняются только одним способом. Например, прием письменного сложения, это всегда прием поразрядное сложение, начиная с единиц первого разряда. При выполнении письменных вычислений для удобства используется письменная особая запись «в столбик». При устных вычислениях тоже используются записи, но они выполняются «в строчку». При этом различают развернутую запись устного приема вычислений, когда записываются арифметические действия по порядку ( порядок операций, например,84:3+(60+24):3=60:3+24:3=28 и краткую запись, когда записывается арифметическое действие и результат, например, 84:3=28.

Итак, к числу основных приемов устного счета относятся приемы сложения, вычитания. Умножения и деления, основанные на разбивке числа на разряды и производстве действий, начиная с единиц высшего разряда.

Например, число 489 разлагается на сотни и единицы: 4 сотни и 89 единиц. Сотни складываются (или вычитаются) с сотнями. А единицы с единицами.

329+415. Складывают 3 и 4 сотни, равно 7 сотням, 29 и 15 единиц равно 44 единицам, всего 744.

3985 -2442. Вычитают так: 24 сотни из 39 сотен равно 15 сотен, 42 единицы из 85 единиц равно 43 единицам, всего 1543. Можно разложить и иначе: на десятки и единицы. Например, 329 и 238 складываем так: 32 десятка и 23 десятка равно 55 десяткам, 8 9 единиц равно 17 единицам, всего 567.

Чтобы устно перемножить два числа, начинаем умножать одно число на разряды другого не с единиц, как при письме, а с высших разрядов, потом полученные числа складываем и получаем произведение.

Например,48х7. Умножаем: 40х7=280 и 8х7=56, и результат складываем:280+56=336.

Деление начинаем, как всегда, с высших разрядов, разложив предварительно делимое на слагаемые, кратные делителю. Например, 224:4.. Раскладываем 224 на 200 и 24 и делим: 20064=50 и 24:4=6, частные складываем: 50+6=56.

Сложение и вычитание в пределах 1000 и выше, если числа имеют не более двух значимых цифр и оканчиваются нулями, производятся устно и с последующей записью результатов вычислений. При изучении этих действий учащиеся знакомятся с приемом устного счета посредством разложения числа на разряды.

Лучше всего эту работу начинать с задач: «Школа закупила учебники: 120 задачников, 310 учебников по русскому языку и 430 книг по чтению. Сколько всего книг закупила школа?»

- Запишите на доске количество купленных учебников в отдельности по каждому предмету

- Назовите в написанных числах сотни, десятки

- Сколько сотен книг куплено по чтению? Сколько десятков?

-Запишите, сколько всего книг куплено(860)

-Сколько в этом числе сотен, десятков?

- как мы получили 8 сотен? 6 десятков?

В приведенном примере числа раскладываются на сотни и десятки. Чтобы перейти к разложению чисел на сотни и единицы, нужно при прохождении устной и письменной нумерации в пределах 100 и 1000 уделить внимание анализу числа по вопросам:

1. Сколько в данном числе сотен, десятков, единиц? Запиши на доске отдельно сотни данного числа, десятки, единицы.

2. В числе…сотен, …десятков, …единиц. Запиши это число.

Сколько в числе 842 сотен и единиц ? ( 8 сотен, 42 единицы).

Сколько в числе 842 всего десятков и единиц? (84 десятка и 2 единицы).

3. Запиши число, в котором 3 сотни и 71 единица. Назови это число. (371)

4. Дано 17 десятков и 5 единиц. Назови это число.

Решение подобных примеров облегчает работу при объяснении сложения, вычитания и других действий.

Полезно разобраться в следующих примерах:

68+39=(60+30)+(8+9)=90+17=107

79-57=(70-50)+(9-7)=20+2=22

19х5=10х5+9х5=50+45=95

68:4=(60+8):4=60:4+8:4=15+2=17

Усвоение этих приемов начинается в пределах 100 и идет далее, по мере роста представлений учащихся о числе.

К более общим приемам устного счета относятся:

1.случаи перестановки или перегруппировки компонентов действий;

2.округление компонентов действий;

3.замена одного действия другим.

Перестановка или перегруппировка, вытекающая из переместительного и сочетательного свойств суммы, видна на следующих примерах:

1. 7+9+3+1= (9+1)+(7+3)=10+10=20

2. 23+38+27+22= (23+27)+(38+32)=50+60=110

3. 8х27=27х8=(20х8)+(7х8)=160+56=216

С приемами перестановки учащиеся начинают уже знакомиться в 1 классе.

Сравнение операций (5+7)+3 и (7+3)+5; 7+9 и 9+7 убедят учащихся в необходимости к большему числу прибавлять меньшее и действовать над числами не механически, а сознательно, подбирая и переставляя их. Примеры, требующие перестановки лучше всего записывать на доске.

При выполнении арифметических действий часто приходится округлять числа, прибавляя к ним несколько единиц или убавляя.

Работа по округлению чисел начинается с 1 класса. Ученикам предлагаются задачи: «Сколько не хватает до 10? До 20? До 100?.

Во втором классе учащиеся знакомятся с округлением чисел в пределах 100 и 1000. Когда числа 12, 30, 40 и т.д. усвоены, легко пользоваться ими для сравнения с числами 17,28,39. (Сколько не хватает до 20.30.40?)

После тщательной проработки примеров на округление числа посредством сложения следует познакомить учащихся с приемом округления посредством вычитания: 40=43-3; 50=52-2. Тот и другой приемы дают богатый материал для решения практических задач и примеров в пределах 100, 1000.

В дальнейшем навыки при сложении и вычитании в пределах 1000 углубляются. Учащиеся знакомятся с округлением компонентов арифметических действий.

Округление компонентов действия можно проследить на следующих примерах:

1. Округление одного из слагаемых :49+37=(50+37)-1

97+46=(100+46)-3

2. Может быть округление сразу нескольких слагаемых: 29+23+39=(30+23+40)-1-1

118+107+88=(120+100+90)-2+7-2

3. Округление уменьшаемого:77-38=(80-38)-3

798-140=(800-140)-2

4. Округление вычитаемого: 63-29=(63-30)+1

927-505=(927-500)-5

5. Округление множителя: 8х9=8х10-8х1

73х9=73х10-73х1

64х18=64х20-64х2

6. Округление делимого: 912:48=(960:48)-(48:48)

216:18= (180:18)+(36:18)

С округлением чисел при умножении уже можно познакомить при изучении таблицы умножения на 9.

Можно также одновременно увеличить делимое и делитель в одно и тоже число раз. С этим можно познакомить учащихся во время внеклассной работы.

Например: 1) 245:35=490:70=49:7=7

2) 375:75=750:150=75:15=

При выяснении этого приема нужно обратить внимание на то, как действовать над данными числами, чтобы они оканчивались нулями :

- Во сколько раз нужно увеличить 35, чтобы получилось число оканчивающееся нулем? ( в 2 раза)

- Сколько получится? Что мы сделали с делителем?

-Что нужно сделать с делимым, чтобы частное не изменилось? (увеличить в 2 раза)

- Чему равняется делимое? (490)

- А делитель? (70)

- Сколько десятков в первом числе?

- Сколько десятков во втором числе?

- Во сколько раз одно число больше другого?

Частные случаи устного сложения, вычитания, умножения и деления основываются на особенностях отдельных чисел, изучении их состава и т.п.

Например, компоненты действий с одинаковым числом единиц каждого разряда:

1. 666+333=999

2. 555-222=333

Здесь результат действия над одним разрядом распространяется на следующие.

Компоненты действий симметричны:

1. 2233+1122=3355

2. 6886-2332=4554

Действия производятся по группам разрядов 22 и 11, 33 и 22.

Один из компонентов составное число, разложение которого на множители может облегчить умножение и деление.

1. 36х12=(36х2х2)х3

2. 675:15=(675:3):5

В этих примерах множитель 12 и делитель 15 разложены на множители.

Этот прием называют последовательным умножением и делением. Такую работу можно начинать со второго класса при изучении и повторении таблицы умножения.

Зная таблицу умножения на 2, учащиеся могут получить табличные результаты умножения на 4 путем удвоения табличных данных первой таблицы. Аналогично из таблицы умножения на 4 можно вывести таблицу умножения на 8.

2х8=16; 4х8=(2х8)х2=(2х8)+(2х8)=16+16=32

8х8=(4х8)х2= 4х8+4х8=32+32=64

Можно познакомить учащихся с приемами устного умножения на единицу с нулями.

Умножение на 5 и 50 сводится также к умножению на единицу с нулями с последующим деление на 2.

63х5=63х10:2=630:2=31

При умножении числа на 25, 250 и 2500 достаточно данное число умножить на 100, , полученный результат разделить на 4 или сначала данное число разделить на 4, затем полученное частное умножить на 100,1000, 10000.

1. 542х25=(542х100):413550 или 542х25=(540:4)х100+2х25=135х100+2х25=13550

2. 424х25= (424:4)х(25х4)=10600

При делении на эти же числа достаточно разделить на 100, 1000 и т.д. и полученное частное умножить на 4. Можно сначала делимое умножить на 4 и полученное произведение разделить на 100, 1000 и т.д.

14200:25=(154200:100)х4=142х4=568

Некоторые занимательные приемы вычислений я даю детям на внеклассных занятиях по математике. Например, при изучении таблицы умножения на 9 использую прием «Движение пальца».

« Положите обе руки на стол и вытяните пальцы. Пусть каждый палец означает по порядку соответствующее число: первый слева 1, второй за ним 2 и т.д. до десятого, который означает 10. Требуется теперь умножить любое из первых десяти чисел на 9. Для этого вам стоит только, не сдвигая рук со стола, приподнять вверх тот палец, который обозначает множимое. Тогда остальные пальцы, лежащие налево от поднятого пальца, дадут в сумме число десятков. а пальцы направо – число единиц. Пусть надо умножить 7 на 9. Поднимите седьмой палец, налево от поднятого пальца лежит 6 пальцев, а направо 3. Значит, результат умножения -63.»

Даю прием сокращенного умножения на 11. 43х11=3х10+43

Из приведенного примера видно, что при записи произведения, когда двузначное число умножается на 11, цифры множимого ставятся по краям, а в середине ставится их сумма (4+3 или 7). Например: 54х11=594, где 9 получилось от сложения чисел 5 и 4 . Если от сложения получается больше 10, то цифра сотен увеличивается на 1, а десятки пишутся в середине между числом сотен и единиц. Например: 68х11 680+68=748. При записи по цифрам будем иметь: 6 сотен, 6+8 десятков и 8 единиц, что дает 6 сотен и 14 десятков и 8 единиц, т.е. 7 сотен и 4 десятка и 8 единиц.

В 4 классе на занятиях кружка рассказываю, что в глубокой древности и почти до XVIII века русские люди в своих вычислениях обходились без умножения и деления. Они применяли два арифметических действия – сложение и вычитание да еще « удвоение» и «раздвоение». Сущность старинного способа умножения состоит в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам (раздвоение) при одновременном удвоении другого числа.

Например: надо 24х5. Если множимое уменьшить в 2 раза, а множитель увеличить в 2 раза, то произведение не изменится: 24х5=12х10=120

Или 32х17

16х34

8х68

4х136

2х272

1х544

Деление первого множителя пополам продолжается до тех пор, пока не получится 1, одновременно удваивается второй множитель. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Значит, 32х17=544

Может возникнуть ситуация, когда множимое делится на 2 с остатком. Тогда нудно сначала отнять от него единицу, а затем производить деление. Строчки с четными множимыми вычеркиваются, а правые части строчек с нечетными складываются.

Например: 21х17

10х34

5х68

2х136

1х272

357

Приемов устного счета много, но, как ни велика их практическая и педагогическая ценность, не следует ставить целью усвоение возможно большего числа разнообразных приемов устных вычислений. Нужно уделить большее внимание усвоению и укреплению общих типовых приемов устного счета, вытекающих из основных арифметических законов и свойств суммы и произведения. На первом месте должна стоять сознательность в выборе тех или иных приемов устных вычислений, а не механическое их применение.