Статья «Развитие математических способностей у учащихся начальных классов»

В последнее десятилетие теоретики и практики образования всё больше внимания уделяют проблемам развивающего обучения. Обучение математике будет развивающим, если:
 в процессе обучения ученик становится субъектом учения;
 обучение ведётся в зоне ближайшего перспективного развития ученика;
 обучение обеспечивает развитие математических способностей.
Математические способности связаны с развитием логических операций. Психологи утверждают, что способность логически мыслить у человека постепенно формируется, он не рождается с готовыми приёмами мышления. Поэтому на уроках математики необходимо создавать условия для развития способностей к усвоению математики. Исследуя природу математических способностей, В.А. Крутецкий делает очень важный для обучения математике вывод: «Абсолютной неспособности к изучению математики, своего рода «математической слепоты», не существует. Каждый нормальный и здоровый в психическом отношении школьник способен при правильном обучении более или менее успешно овладеть школьным курсом математики, приобрести знания и умения в объёме программы средней школы».
Русский философ, математик Д.Д. Мордухай – Болтовский пишет о том, что о наличии математических способностей нельзя судить по умению человека быстро вычислять, решать сложные задачи, преобразовывать выражения. В качестве признаков, характеризующих математические способности, учёный называет воображение, хорошую математическую память, острый ум, глубокомыслие. Достаточно полное исследование состава и структуры математических способностей провёл В.А. Крутецкий. Исследуя школьников, проявивших способности к математике, он дал наиболее полную и обобщённую схему структуры математических способностей. Особое место в ней занимает лёгкая обобщаемость математического материала, краткость рассуждений, гибкость мыслительных процессов, способность к быстрой перестройке направленности мыслительного процесса.
Процесс развития математического понятия связан с переходом от одного вида абстракции к другому. Этот переход и вызывает большие затруднения в понимании математики детьми. Ученик понимает, почему 3 ∙ 6 = 18, с большим трудом понимает, почему 3 ∙ 1 = 3, но с ещё большим трудом – почему х ∙ 1 = х.
Абстрактность математики проявляется в двух её характерных особенностях, которые влияют на развитие математических способностей. Первая особенность заключается в том, что математика не открывает свой объект и его свойства, а создаёт, изобретает его. Вторая особенность математики – это наличие собственного языка - математической символики. Краткость символики способствует достижению результата, в то время как длинные формулировки тормозят понимание материала. Математическая символика позволяет сжимать запись информации, делать её легко обозримой.
Решение вопроса развития математических способностей в начальной школе связано с тем, насколько изучение главных тем (вычисления, решения задач, геометрический материал и т.д.) ведётся с позиций обучения абстрагированию. Как известно, математические умения приобретаются учениками в процессе выполнения различного рода специальных заданий. Практика работы школы показывает, что решение сюжетных задач и работа по развитию понятия числа при специальной методике являются хорошим средством для формирования базовых математических умений, а на их базе – и развитие математических способностей.
Как же может быть организована работа по развитию математических способностей во 2 классе?
1. Формирование умения решать сюжетные задачи.
Решение сюжетных задач - одно из самых эффективных средств формирования математических способностей. Большинство задач однообразны, однотипны. Мы решаем с детьми много задач, а умение решать их не развивается. Значит, необходимы специальные задачи, которые будут интересны ученику в силу их необычности. Необходимо, чтобы ученик научился выделять структурные элементы задачи в текстах различной конструкции. Обозначим условие задачи знаком - ∆, а вопрос – знаком О. Тогда тексты задач могут иметь одну из конструкций:
1. ∆ О
1)В кино пошли 12 мальчиков и 10 девочек. На сколько больше мальчиков отправилось в кино?
2. О ∆
2) Сколько марок подарил Вася, если Вове он подарил 9 марок, а Коле - 7 марок?

3. ∆ О ∆
3) Бабушка испекла 10 пирожков. Сколько пирожков осталось, если за обедом съели 5 пирожков?
Чтобы научить ученика устанавливать взаимосвязи между искомым и данными, очень полезно предлагать задачи с недостающими и лишними данными, а также задачи, не имеющие решения. Например, задача с лишними данными.
На первой полке лежали 20 книг, на второй – 30, а на третьей – на 6 книг больше, чем на второй. Сколько книг лежало на третьей полке?
Задача с недостающими данными:
В парке берёз на 25 меньше, чем лип. Сколько лип в парке?
Решая задачу с недостающими данными, ученик должен сказать, что она не имеет решения, т.к. в ней не хватает данных. Полезно предложить ученику указать недостающее данное, например, количество берёз.
Очень важно учить детей выполнять краткую запись. Примеры.
1) На горке катались 5 мальчиков, что на 3 человека больше, чем девочек. Сколько детей катались на горке?
Мальчики - 5 чел ? детей
Девочки – на 3 меньше

Другой вид краткой записи:
Мальчики: ООООО ? детей
Девочки: ООØØØ
Данная краткая запись наглядна, но не требует поиска решения задачи. Поэтому в данном случае лучше использовать схематический чертёж:
мальчики: ______________ ? детей
девочки: _________
Схематический чертёж обладает многими достоинствами. Ученику нужно внимательно прочитать задачу, чтобы изобразить данные и искомое, кроме того, большинство детей любят рисовать, работать карандашом.
2. Развитие вычислительных навыков.
Без навыка быстрых вычислений трудно вести разговор о возможности развития математических способностей, т.к. формирование вычислительных навыков способствует развитию математической памяти. Опыт показывает, что полезно использовать на уроках и внеурочных занятиях по математике различные дидактические игры.
В специальной методической литературе можно найти множество таких игр и интересных заданий. Но здесь важно следующее: игры должны не только заинтересовать ученика, но и мотивировать, организовывать его деятельность. В этом смысле полезны шифровки, домино, кроссворды и т.д. Например:
а) Прочитай зашифрованные слова, выполнив действия.
2 + 5 10 – 6 6 – 2
9 - 6 3 + 4 10 - 5
15 - 14 9 – 7 8 – 6
10 - 3
Используй ключ к шифру:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
н м к д ы а о п и
Выполнив вычисления, ученик прочитает слова: окно, дом, дым.
б) Игра «Лото» .
Изготавливаем карточку лото, имеющую такой вид:
15 14 32 36
16 12 30 63
35 34 27 25
Затем берём любую поздравительную открытку, разрезаем её на 12 прямоугольников (это будущие фишки лото, по размеру они должны быть равны прямоугольникам на карточке лото).
На разрезанные части с чистой стороны записываем соответствующие математические выражения:
22-7 63-49 15+17 28+8
9+7 49-37 100-70 44+19
50-15 29+5 82-55 93-68
В результате получим фишки лото, на которых на лицевой стороне - часть рисунка открытки, а на обратной стороне - математическое выражение. Ученик берёт фишку, читает выражение, находит его значение и кладёт фишку лицевой стороной на то место на карточке лото, где записано найденное число. Если ученик выполнил все вычисления правильно, то он сможет собрать открытку, которая была первоначально разрезана. Полезно иметь «карточки – провокаторы», сделанные из такой же открытки. В таком случае ученику нужно стремиться правильно выполнять вычисления.
Можно использовать различные математические фокусы и игры.
Примеры.
34 23 36 37
16 5 18 19
37 26 39 40
19 89 21 22
1.Данный квадрат обладает очень интересным свойством, которое заставляет удивляться не только учеников, но и учителей математики. Это свойство лучше всего помогут увидеть четыре монеты.
Выбери любое число из таблицы. Выпиши его в тетрадь. Закрой это число монетой. Из столбика и строчки, где стоит данное число, числа больше брать нельзя. Например, если ты выбрал число 18, то дальше нельзя брать числа 36, 39, 21 и 16, 5, 19.
Из оставшихся чисел опять выбери любое число. Выпиши его в тетрадь. Теперь закрой это число второй монеткой. Из столбика и строчки, где стоит данное число, числа уже брать нельзя. Такую процедуру повтори ещё раз, в таблице останется одно число (четвёртое), которое можно взять. Полученные четыре числа сложи. Получится 100.
Далее можно предложить проделать эту операцию ещё раз. Результат будет тот же - 100.
2. Игра для внимательных.
К словам из левого столбика подбери соответствующие слова из правого так, чтобы получилось название литературного произведения. Если вписать по порядку их авторов, то четвёртые буквы дадут ответ на вопрос, какое важное качество необходимо школьнику для того, чтобы стать победителем математической олимпиады.
Три…
Семьсот семьдесят семь…
Дюймовочка…
Сказка о мёртвой царевне…
Два…
Лебедь…
Жадный… …и семи богатырях
…Мороза
…Вартан
…щука и рак
…медведя
…подземных королей
…мастеров

3.Следует использовать свойства арифметических действий как средства выполнения задания. Например, расположить суммы в порядке возрастания их значений: 59+29, 65+59, 86+45, 51+27.
Из практики известно, что введение магических квадратов в систему заданий способствует формированию вычислительного навыка и является мощным средством развития математических способностей.
4.Магические квадраты.
а) В магическом квадрате суммы чисел по любым вертикалям, по любым горизонталям, по любым диагоналям равны одному и тому же числу. Найдите это число.
12 22 8
10 14 18
20 6 16
При выполнении этого задания ученику достаточно найти значение любой суммы чисел, из указанных в определении.
б) Докажите, что данный квадрат не является магическим.
12 27 9
18 15 21
24 3 18
При выполнении этого задания ученику нужно вычислить несколько сумм.
в) Дан магический квадрат. Какое число должно стоять в пропущенной клеточке?
8 18 4
6 10
16 2 12
Также можно рассуждать так: «Найду постоянную сумму квадрата: для этого найду сумму чисел левого столбика: 8+6+16 =30»;
или: «Найду сумму известных чисел в том столбике, где находится пустая клеточка: 4+12=16, затем 30-16=14; значит в пустой клетке стоит число 14».
Опыт показывает, что в процессе использования на уроках подобных видов работы, у учащихся формируются не только вычислительные навыки, но и логические операции, необходимые в работе с математическими понятиями, что развивает математические способности.
Литература:
1. Программы для общеобразовательных учреждений. Начальные классы. 1-4 классы. М., «Просвещение», 2008
2. Керова Г.В. Нестандартные задачи по математике. 1-4 классы. М., «ВАКО», 2006
3. Моро М. И. Учебник математики для 2 класса. М., «Просвещение», 2009
4. Туркина В.М. Как развивать математические способности у учащихся начальной школы. М., изд. АРКТИ, 2007