Презентация "Алгебра функций"

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС «Алгебра функций» Выполнила: Винник Н.А.- учитель математики 435 школы

Конспект занятия. Учитель Винник Надежда Анатольевна Предмет: Элективный курс по математике «Алгебра функций» Тип занятия: занятие-практикум Тема занятия:«Построение графиков композиции функций». Цель занятия: Расширение знаний о функциях и их графиках на примере суперпозиции (композиции) функций. Задачи: а) Закрепление знаний о понятии функции и операций композиции функций; б) построение графиков композиции функций; в) воспитание у учащихся культуры работы с чертёжными инструментами и аккуратности в выполнении построений, воспитывать волю и настойчивость для достижения конечного результата. Перечень ТСО: персональный компьютер, видеопроектор, экран, CD с учебным материалом, карточки с заданиями. Структура занятия: - мотивационная беседа (организационный момент и постановка цели и задач занятия); - входной контроль: а) Понятие функции. Задание 1: Определить какие графики соответствуют графикам функций. Задание 2: Указать какой график может соответствовать данной ситуации. б) Понятие суперпозиции функций. в) Способы преобразований графиков функций. Задание 3: Определить какие преобразования необходимо совершить с графиком у = f(x), чтобы построить график функции у = f(|x|); у = |f(x)|; у = f(x) + а; у = f(x + а); у = f(kx); у = k·f(x); у = f(-x). - практическая часть: выполнение индивидуальных заданий на карточках с последующей проверкой. -подведение итогов и постановка домашнего задания; - рефлексия (самооценка и суждения учащихся о работе класса, своей деятельности на уроке).

Понятие Функции  f(х) x1 x2 y1 y2 xn yn D(f) E(f) y=f(x)

Понятие Функции • Пусть D и Е – непустые числовые множества, аХи У – соответственно их элементы. Если каждому Х є D (Х принадлежит множеству D) ставится, в соответствии с некоторым законом, только одно значение У є Е, то говорят, что между переменными Х и У существует функциональная зависимость, и Х называют независимой переменной (или аргументом), а У – зависимой переменной ( или функцией). • • Термин «функция» ввёл в математику Готфрид Лейбниц (1646-1716 гг.)он употреблял его, связывая только с геометрическими образами. В развитие понятия функции внесли свой вклад Исаак Ньютон (1643-1727 гг.), Леонард Эйлер (1707-1783 гг.), Ж.-Б. Фурье (1768-1830гг.), Н.И. Лобачевский (17921856гг.), Дирихле (1805-1859гг.)

Определите какие графики соответствуют графикам функций

Укажите какой график может  соответствовать данной ситуации

Укажите какой график может  соответствовать данной ситуации • На голове человека растут волосы, которые тот регулярно стрижёт, когда они достигнут какой-то определённой длины (всегда одной и той же). Покажите, какой график может соответствовать зависимости длины У определённого волоса от времени Х, прошедшего после одной из стрижек.

Укажите какой график может  соответствовать данной ситуации • Конус погружают в воду вниз вершиной. Как зависит У – масса вытесненной воды – от величины Х, выражающей глубину погружения? Найдите соответствующий график.

Укажите какой график может  соответствовать данной ситуации • Конус погружают в воду вниз основанием. Найдите график, который может выражать зависимость У (масса вытесненной воды) от Х (глубина погружения).

Укажите какой график может  соответствовать данной ситуации Через каждый час рабочего времени на склад сдают всегда одно и то же число изготовленных за этот час деталей (Х - время работы, У – количество деталей на складе). Каким из графиков может выражаться зависимость У от Х?

Укажите какой график может  соответствовать данной ситуации • У гражданина есть деньги, которые он тратит на покупки. Найдите график, соответствующий зависимости количества денег У, которыми располагает гражданин, от количества времени, потраченного на покупки.

Укажите какой график может  соответствовать данной ситуации • Яблоко растёт, затем его срывают и сушат. На весь этот процесс уходит Х дней. Найдите график, описывающий зависимость массы яблока У от Х.

Преобразование графиков функций.  Симметричное отображение относительно оси  Оу. у   y = f(x) ­    график исходной  функции y = f(x) 0 y = f(|x|) х     y = f(|x|)   часть графика       при х > 0 сохраняется, она же симметрично  отображается   относительно  оси Оу

Преобразование графиков функций.   Растяжение вдоль оси Оу у y =  2f(x)   y = f(x)    график исходной  функции 2 1 х 0 y = f(x)  ­1 ­2      y = kf(x)     растяжение вдоль      оси Оу в k раз если  k > 1 (на рисунке k = 2)

Преобразование графиков функций.   Сжатие вдоль оси Оу у   y = f(x)    график исходной  функции y = 1/2f(x) y = f(x)  1 1/2 0 х ­1/2 ­1      y = kf(x)     сжатие вдоль      оси Оу в  1/k раз  если  k 

Преобразование графиков функций.   Растяжение вдоль оси Ох у   y = f(x)    график исходной  функции y = f(x)  ­2 y = f(1/2х) ­1 0 1 2 х      y = f(kx)     растяжение вдоль      оси Ох в 1/k раз если  k 

Преобразование графиков функций.                 Сжатие вдоль оси Ох у   y = f(x)    график исходной  функции y = f(2х) ­2 0 1 ­1 y = f(x)  2 х y = f(kx)         сжатие вдоль      оси Ох в k раз если  k > 1 (на рисунке k = 2)

Композиция функций  g(f(х)) f(х2) P1 (x) P2(x) f(хn) Pn(x) D(P(x)) E(P(x)) f(х1) P(x)=(f o g)(x)=g(f(x))

Композиция (суперпозиция или сложная  функция) • Определение: Пусть даны две функции у=g(x) и y=f(x), их композицией называют функцию P(x)=(f o g)(x)=g(f(x)), при условии Д(f)∩E(g)≠Ø g(x)-внешняя функция f(x)- внутренняя функция В функцию g(x) надо вместо х подставить функциюf(x) Композиция не коммутативна (g o f) ≠ (f o g)

Внешняя функция y=g(x) – это g(x)=log2|x| Внутренняя функция у=f(x) – это f(x)=x²-1 Внешняя функция y=g(x) - это g(x)=log|х|2 Внутренняя функция у=f(x) - это f(x)=x²-1

Задание: построить график композиции функций Дано: f(x)=x+2 и g(x)=x²-3 Построить: (f o g)(x)=g(f(x)) Ответ: у =(х +2)2 –3   у у ­2 0 х ­3 ­2 0 х ­3

Задание: построить график композиции функций Дано: f(x)=x-2 и g(x)=√x+2 Построить: (f o g)(x)=g(f(x)) Ответ: у  х 22 у у  х 22 2 0 х 2

Задание: построить график композиции функций у 0 Дано: f(x)=x-3 и g(x)=x³-4 Построить: (f o g)(x)=g(f(x)) х³ 3 ­4 Ответ: у =(х –3)3 – 4 у =(х –3)³ – 4 х

Задание: построить график композиции функций Дано: f(x)=x+3 и g(x)=1/x-2 Построить: (f o g)(x)=g(f(x)) Ответ: у  1  2 х 3 у ­3 0 х ­2

Задание: построить график композиции функций Дано: f(x)=x²-4 и g(x)=|x| Построить: (f o g)(x)=g(f(x)) Ответ: y = |x² – 4| у y = |x2 – 4| y = x2 – 4 0 -2 х 2

Дано: f(x)=(x-2)² и g(x)=|x-1| Построить: (f o g)(x)=g(f(x)) у у = |(х –2)2 –1|     Ответ: у = |(х –2)² –1| 1 х 2 0 -1 у = (х –2)2 –1 у у = ||х – 1|– 3|  2 у = |х2 – 1|     Дано: f(x)=|х²-1| и g(x)=|х-3| Построить: (f o g)(x)=g(f(x)) Ответ: у = ||х² – 1|– 3| х 0 -1 у = |х2 – 1|– 3 -3    

Дано: f(x)=|х|-1 и g(x)=х² Построить: (f o g)(x)=g(f(x)) Ответ: y = (|x|-1)2 y = (|x|-1)² -10 у х1 у  х 1 у -1 0 1 у y = (x-1)2 х 1 Дано: f(x)=|х|-1 и g(x)=√x Построить: (f o g)(x)=g(f(x)) Ответ: у х1 х

Дано: f(x)=х-1 и g(x)=-0,5х² Построить: (f o g)(x)=g(f(x)) y = x2 y = (x-1)2 у y = 0,5(x-1)2 Ответ: y = -0,5(x-1)² 0 х 1 y = 2(x+2) y = -0,5(x-1)2 2 у y = (x+2)2 y = x2 Дано: f(x)=х+2 и g(x)=2х² Построить: (f o g)(x)=g(f(x)) х -2 0 Ответ: y = 2(x+2)²

Домашнее задание №1        Пофантазируйте!      Какие реальные ситуации  могут описывать  функции, графики  которых изображены на  рисунках. Укажите для  каждой функции, что  соответствует  независимой переменной  Х, а что соответствует  зависимой переменной У.

Домашнее задание №2 • Составьте композицию из двух  функций и постройте её график

• Как вы оцениваете свою работу на уроке? • Какие задания оказались для вас трудными? • Какие задания показались вам лёгкими? •Что бы вы хотели пожелать, в том числе и предложения по разработке

Задание На складе было 50 тонн угля. Ежедневно на склад поступало 10 тонн. Даны графики описывающие зависимость количества р (в тоннах) угля от времени t (в сутках). По каждому графику составьте рассказ о том, что происходило с углем. Как он поступал на склад, в каком количестве? Расходовался ли?