Теория для решения задач В14 на ЕГЭ по математике. 11 класс.

Крутицких Наталья Станиславовна. МБОУ №16 города Еманжелинска, учитель математики. По материалам сайта http://matematikalegko.ru

Здравствуйте, Дорогие друзья! Мы поговорим о задачах В14, рассмотрим основные теоретические моменты, которые необходимо знать и понимать для решения.

Задачи В14 ЕГЭ по математике – это задачи на исследование функций. Рассматривается:

Исследование степенных и иррациональных функций

Исследование рациональных функций

Исследование произведений и частных

Исследование логарифмических функций

Исследование тригонометрических функций

Если вы поняли теорию пределов, понятие производной, свойства производной для исследования графиков функций и её геометрический смысл, то задачи В14 у ни какого затруднения не вызовут и вы решите их с лёгкостью. Информация ниже это теория, понимание которой позволит понять, как решать подобные задачи. Постараюсь изложить её именно так, чтобы даже тот, кто эту тему пропустил или изучил слабо, смог без проблем решить подобные задачи.

В задачах данной группы, требуется найти либо точку минимума (максимума) фунуции, либо наибольшее (наименьшее) значение функции на интервале.

Точки минимума, максимума.

Свойства производной.

Итак, рассмотрим график функции:

Точка А – это точка максимума, на интервале от О до А функция возрастает, на интервале от А до В убывает.

Точка В – это точка минимума, на интервале от А до В функция убывает, на интервале от В до С возрастает.

В данных точках (А и В) производная обращается в нуль (равна нулю). Касательные в этих точках параллельны оси ox.

Добавлю, что точки, в которых функция меняет своё поведение с возрастания на убывание (и наоборот, с убывания на возрастание), называются экстремумами.

Важный момент:

1. Производная на интервалах возрастания имеет положительный знак (то есть при подстановке значения из интервала в производную получается положительное число).

Значит, если значение производной в определённой точке из некоторого интервала имеет положительное значение, то график функции на этом интервале возрастает.

2. На интервалах убывания производная имеет отрицательный знак (то есть при подстановке значения из интервала в выражение производной получается отрицательное число).

Значит, если значение производной в определённой точке из некоторого интервала имеет отрицательное значение, то график функции на этом интервале убывает.

Это надо чётко уяснить!!!

Таким образом, вычислив производную и приравняв её к нулю можно найти точки, которые разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов можно определить знак производной и далее сделать вывод о её возрастании или убывании.

Функция в точках, где производная равна нулю меняет свой знак не всегда. Об этом будет отдельная статья. На ЕГЭ таких задач не будет.

Вышеизложенные свойства необходимы для исследования поведения функции на возрастание и убывание.

Что ещё необходимо знать для решения задач В14: таблицу производных и правила дифференцирования. Без этого в части В14 делать нечего. Это базовые знания, в теме производной. Производные элементарных функций вы должны знать на отлично.

Правила дифференцирования:

Если c — произвольная постоянная (число):

Производная сложной функции:

Вычисляя производную сложной функции f(g(x)), представьте, что g(x) переменная и считайте f’(g(x)), по табличным формулам как обычную производную, затем полученный результат умножаем на производную функции g(x). Слева функция, справа её производная. В конкретных примерах вы всё увидите.

Исследование функций.

Задачи на нахождение точек максимума и минимума.

Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции:

1. Находим производную функции f’(x)

2. Находим нули производной (их ещё называют стационарными точками) путём приравнивания производной к нулю f’(x)=0, решаем полученное уравнение

3. Отмечаем полученные значения на числовой прямой и определяем знаки производной на этих интервалах, путём подстановки значений из интервалов в выражение производной

4. Далее делаем вывод.

Кроме того, на числовой прямой необходимо так же отмечать точки, в которых функция прерывается (это касается дробно-рациональных функций, где в знаменателе есть выражение с переменной, примеры).

Вывод будет один из двух:

если в точке производная меняет значение с положительного на отрицательное, то это точка максимума.

если производная меняет значение с отрицательного на положительное, то это точка минимума.

Задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения функции на интервале.

В другом типе задач требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции на заданном интервале.

Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции:

1. Определяем, есть ли точки максимума (минимума): для этого находим производную f’(x), затем решаем f’(x)=0 (пункты 1 и 2 из предыдущего алгоритма)

2. Определяем, принадлежат ли полученные точки заданному интервалу, записываем лежащие в пределах интервала.

3. Подставляем в исходную функцию (не в производную, а в данную в условии) концы данного интервала и точки (максимума-минимума), лежащие в пределах интервала (п.2).

4. Вычисляем значения функции.

5. Выбираем из полученных наибольшее (наименьше) значение, смотря какой вопрос поставлен в задаче, и записываем ответ.

Поставим вопрос: для чего в задачах на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции необходимо искать точки максимума (минимума)?

Ответ лучше всего проиллюстрировать, посмотрите схематичное изображение графиков, задаваемых функций:

В случаях 1 и 2 достаточно подставить границы интервала, чтобы определить наибольшее или наименьшее значение функции. В случаях 3 и 4 необходимо найти нули функции (точки максимума-минимума). Если мы подставим границы интервала (не находя нули функции), то получим неверный ответ, это видно по графикам. И всё дело в том, что мы по заданной функции не можем увидеть как выглядит график на интервале (имеет ли он максимум или минимум в пределах интервала). Потому находите нули функции обязательно!!!

Если уравнение f’(x)=0 не будет иметь решения, это значит, что точек максимума-минимума нет (рисунок 1,2), и для нахождения поставленной задачи в данную функцию подставляем только границы интервала.

Ещё один важный момент. Помните, что ответом в задачах части В на ЕГЭ должно быть целое число или конечная десятичная дробь. При вычислении наибольшего и наименьшего значения функции вы будете получать выражения с числом е и Пи, а также выражения с корнем. Запомните, что до конца вам их вычислять не нужно, и так понятно, что результат таких выражений ответом являться не будет. Если возникнет желание вычислить такое значение, то считайте (напомним число е ≈ 2,71 Пи ≈ 3,14 ).

конечно удобно. Всего доброго! Успеха!!!