Методическое пособие. Применение производной и интеграла для решения задач по физике. 10 - 11 класс

Букешева Гулзара Нурболатовна

Учитель физики МОУ СОШ №11 г. Палласовки Волгоградской области

ТЕМА: Применение производной и интеграла для решения задач по физике

1. Применение производной для решения задач по физике

Задача 1

Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону х(t) = t² +t + 1. Какова кинетическая энергия тела в конце третьей секунды движения после начала движения и сила, действующая на тело?

Дано:

m =4 кг

х(t) = t² +t + 1

t=3 с

W_к ? F?

Решение: Скорость_{ } есть функция времени, поэтому

_{ } = х’(t)

_{ } = 2t + 1

_{ }(3) = 7 м/с

В физике скорость изменения скорости называется ускорением.

a(t) = _{ }’(t)

a(t) =2м/с²

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. С физической точки зрения дифференцирование – определение скорости изменения переменной величины. Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной y по отношению к изменению независимой переменной х. Последняя не обязана иметь физический смысл времени.

W = _{ }

W = 98 Дж

F = ma

F = 8 Н

Ответ: 98 Дж; 8 Н.

Задача 2

Зависимость между массой вещества М, получаемого в химической реакции и временем t выражается уравнением: М(t) = Аt² +Bt, где А и В – постоянные. Какова скорость реакции?

Дано:

М(t) = Аt² +Bt_{ }

Скорость химической реакции определяется: _{ } = М’(t)

_{ } = 2 At+ B

Ответ: 2 At+ B

Задача 3

Конденсатор ёмкостью C и зарядом q₀ разряжается через резистор R по закону: q = q_{0  } Найти скорость изменения заряда конденсатора. Какова скорость в начале разряда (t = 0)?

Дано:

q = q_{0  }

q’(t) ? q’(0) ?

Решение:

q’(t) = (q_{0  }’ = q₀ (_{ }’·(- _{ })’ = q_{0 } = - _{   }

q’(0)= - _{ }

Ответ: - _{   }; - _{ }.

Задача 4

Концентрация некоторого вещества в крови человека вследствие его выведения из организма изменяется по закону: n(t) = 2_{ }. Как изменяется скорость выведения вещества из организма с течением времени? Какой смысл имеет знак скорости?

Дано:

n(t) = 2_{ }

n’(t) ?

Решение:

n’(t) = (2_{ } = 2 (_{ } · (- 0,05t)’ = 2 _{ } · (- 0,05) = -0,1_{ }

Ответ: -0,1_{ }; знак (-) означает убывание концентрации вещества с течением времени.

Задача 5

В двухэлектродной лампе сила анодного тока зависит от анодного напряжения по закону: I(U) = _{ }, где _{ } - постоянная, зависящая от формы, размеров, расположения электродов. Получить формулу прироста тока на каждую единицу изменения напряжения.

Дано:

I(U) = _{ }

I’(U)?

Решение:

I’(U) = _{ })’ = _{ }

Исходя из определения производной I’(U) = tg_{ }

I’(U) = lim _{ }

Ответ: _{ }.

Задача 6

Каково изменение периода колебаний математического маятника при изменении его длины?

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле:

T = 2_{ }.

T’(l) = (2_{ })’ = 2_{ }((_{ })’ ·(_{ } )’ = 2_{ } · _{ }(_{ }· _{ } = _{ }· _{ } = _{ }.

Ответ: _{ }

Задача 7

Заряд на пластинах конденсатора колебательного контура с течением времени изменяется по закону: q = 10^-6 _{ }. Записать уравнение зависимости силы тока от времени.

Дано:

q = 10^-6 _{ }

I(t) ?

Решение:

I(t) = q’(t) = 10^-6· 10⁴_{ } = 10^-2 _{ }

Ответ: 10^-2 _{ }

Применение интеграла для решения задач по физике

Задача 1

Уравнение скорости материальной точки имеет вид: _{ } Напишите уравнение движения x = x(t).

Дано:

x = x(t)?

Решение:

x = _{ } = _{ }= 6· _{ } - 3· _{ } = 2t³ –t².

Ответ: 2t³ –t²

Задача 2

По закону Гука сила упругости пропорциональна растяжению пружины. Сила в 100 Н растягивает пружину на 2 см. Какую работу она при этом совершает?

Дано:

F = 100 H

x = 0,02 м

А?

Решение:

По закону Гука: F = kx, k = _{ }.

K = 500 _{ }

А = _{ }

A = _{ } = k·_{   }

A = 0,1 Дж

Ответ: 0,1 Дж

Задача 3

ЭДС изменяется по закону: _{ } = - 0,01 _{ }. Как изменяется магнитный поток?

Дано:

_{ } = - 0,01 _{ }

Ф = Ф(t)?

Решение:

Ф = _{ } = _{ } = - 0,01_{ } ·_{ } (- _{ } =

0,01 _{ }.

Ответ: 0,01 _{ }.

Задача 4

Электрические заряды q₁ = 1 нКл, q₂ = 4 нКл расположены на расстоянии 20 см друг от друга. Найти работу по перемещению зарядов, если расстояние увеличилось до 40 см.

Дано:

q₁ = 1 нКл

q₂ = 4 нКл

r₁ = 20 см

r₂ = 40 см

А?

Решение:

По закону Кулона F =k _{ }.

A = _{ } = _{ }dr = kq₁q_{2 } = kq₁q_{2 } dr = kq₁q₂ (_{ } =

= kq₁q₂(_{ }

_{ }A = 90·10^-9 Дж = 90 нДж.

Ответ: 90 нДж.

Задача 5

Из шахты глубиной 200 м равномерно поднимают клеть весом 15 кН с помощью каната, намотанного на барабан. Вес каждого метра каната 30 Н. Какова работа, необходимая для поднятия клети.

Дано:

h = 200 м

P = 15 000Н

P₀ = 30 Н

А?

Решение:

Работа, необходимая для поднятия клети, равна сумме работ для поднятия самой клети и каната.

А =А₁ + А₂

Работа по поднятию клети А₁ = P h

Работа по поднятию каната А₂ = _{ }= _{ }= P₀· _{ } = P₀· _{ } .

А = P h + P₀· _{ }.

А = 3,6 · 10⁶ Дж

Ответ: 6,6 МДж

Задача 6

На оси ОХ закреплено тело массой 10 кг. В точке с координатой 10 м находится тело массой 20 кг. Найти работу силу тяготения, если тело массой 20 кг перемещается в точку с координатой 20 м.

Дано:

m₁ = 10 кг

m₂ = 20 кг

r₁ = 10 м

r₂ = 20 м

А?

Решение:

Так как сила тяготения будет направлена к началу координат, поэтому

F = - _{ }.

A = _{ } = - _{ } = - _{ } = - G_{ }(- r)^{- 1} = G_{ }(_{ } - _{ }).

A =

Задача 7

Найти работу изотермического расширения идеального газа под поршнем цилиндра, если площадь цилиндра S, объём изменяется от V₁ до V₂, а высота столба газа от L₁ до L₂.

Дано:

S, V₁ ,V₂

L₁ ,L₂

A?

Решение:

Работа силы давления газа равна

A = _{ }.

Cилы давления газа равна: F = PS

Из уравнения Менделеева-Клапейрона получается:

P = _{ }Обозначим _{ } как С. V = SL. Тогда А = _{ } = _{ } = _{ } = c _{ }.

dV = SdL, A = C_{ } ln _{ } = C(ln_{ }) = C·ln_{ }.

Ответ: C·ln_{ }