Урок–семинар по физике на тему «Учебная теория механических колебаний»; 9 класс (предпрофильный)

Крухмалева Любовь Леонидовна

учитель физики МБОУ «СОШ № 4 МО «Ахтубинский район»

Астраханской области

Урок–семинар по физике на тему

«Учебная теория механических колебаний»

в 9 классе (предпрофильном)

Цели:

1. Ознакомление с экспериментальными и теоретическими фактами, относящимся к механическим колебаниям.

2. Построение физической и математической модели.

Оборудование:

1. Компьютер

2. Проектор

3. Плакаты

4. Портреты ученых

План:

1. Экспериментальные и теоретические факты, относящиеся механическим колебаниям.

2. Теоретическая модель механических колебаний.

Модель урока-семинара:

I часть

Учитель.

Сегодня мы начинаем изучение теории механических колебаний. Вы хорошо знаете, что колебания – это такие механические движения, которые более или менее систематически повторяются. Колебательное движение широко распространено в природе и играет важную роль в жизни человека. Закономерности колебательного движения очень интересны и относятся ко всем разделам физики. Поэтому знание основ физики колебаний необходимо любому грамотному человеку.

Итак, представим участников нашего семинара.

(Звучит музыка, ученики исполняют песню «Маленькая страна», на экране демонстрируются картинки, фотографии участников семинара).

Учитель.

Девятнадцатилетний Галилео Галилей был первым, кто обратил внимание на механические колебания как объект физической науки. Он заметил, что висящая на длинном подвесе лампа Пизанского собора колеблется периодически. С этого наблюдения началось систематическое изучение колебаний. (На экране монитора в этот момент демонстрируется портрет Галилея, вид Пизанского собора). Как вы думаете, что вообще представляют собой маятники? Какова основная задача физическая величина, характеризующая колебания?

Учащийся 1.

Простейший маятник представляет собой подвешенный на нити груз. Если груз отвести от положения равновесия и отпустить, то маятник начнет совершать колебания. Промежуток времени, в течение которого происходит одно полное колебание, называется периодом Т, а величина ν = _{ }, обратная периоду, называется частотой.

Учащийся 2.

У меня в руках шарик, который принято называть каучуковым. Беру нить, на конце которой привязана канцелярская булавка, и втыкаю булавку в шарик. Другой конец нити пропускаю через закрепленный в муфте штатива трубчатый держатель и зажимаю фиксатором. Подвешенный на нить груз мы будем называть нитяным маятником.

Учащийся 3.

Выведем груз из положения устойчивого равновесия и отпустим. Поднятый из положения равновесия груз приобретает потенциальную энергию. Если груз отпустить, то он начинает двигаться по дуге окружности. Когда груз проходит положение равновесия, его скорость и, соответственно, кинетическая энергия максимальны, а потенциальная равна нулю. По инерции груз протаскивает положение равновесия и начинает подниматься. При этом его кинетическая энергия уменьшается, а потенциальная растет. Далее процесс повторяется.

Учитель.

Чтобы построить элементарную теорию колебаний, используют упрощенную модель нитяного маятника. Рассмотрим факты, лежащие в основании учебной теории механических колебаний.

Экспериментальные факты

Итак, идеальный маятник, состоящий из материальной точки, подвешенный на растяжимой невесомой нити, называют математическим маятником.

Учащийся 4.

Понятно, что математических маятников в природе нет, как нет ни материальных точек, ни нерастяжимых нитей. Если тело толкнуть, то оно начнет колебаться: движение груза происходит периодически возле положения равновесия, плавно, через равные промежутки времени, замедляясь и ускоряясь. Маятник на мгновение останавливается в крайних точках и проходит точку равновесия с наибольшей скоростью.

Учитель.

У вас на столе находятся различные реальные колебательные системы. Назовите их.

Учащийся 1.

Возьмем любое тело и насадим его на ось так, чтобы она не проходила через центр масс тела. Если тело толкнуть, то оно начнет колебаться, значит это тоже маятник.

Учащийся 2.

Груз, висящий на пружине, принято называть пружинным маятником. В теоретических исследованиях такой маятник нужно заменить материальной точкой, висящей на невесомой пружине, способной испытывать только продольные деформации.

Учащийся 3.

Гибкая линейка тоже пружинит и, если один конец её закрепить, то другой будет колебаться. Такой маятник принято называть изгибным маятником.

Учащийся 4.

Система, представляющая собой резиновый шнур, один конец которого закреплен неподвижно, а на другом конце расположен груз, тоже является маятником. Груз, подвешенный на резиновом шнуре, будем называть резиновым маятником.

Учащийся 5.

Система, представляющая собой шарик на дне чаши, тоже является маятником. Будем называть его чашечным маятником.

Учащийся 6.

Система, представляющая собой струну, концы которой закреплены неподвижно, тоже является маятником. Будем называть его струнным маятником.

Учащийся 7.

Рассмотрим металлический диск, подвешенный на трех резиновых шнурах. Если диск немного повернуть вокруг вертикальной оси и отпустить, то он будет в течение некоторого времени поворачиваться вокруг этой оси то по ходу часовой стрелки, то - против. Такой маятник будем называть дисковым.

Учитель.

Молодцы! Все рассмотренные колебательные системы принято называть осцилляторами. Осциллятор – это физическая система, в которой в результате нарушения состояния устойчивого равновесия возникают собственные колебания, обусловленные исключительно свойствами самой системы.

Теперь перейдем к рассмотрению теоретических фактов.

Теоретические факты

Учитель.

При всем разнообразии движений осцилляторов у них есть важная и общая черта: через определенный промежуток времени движение любого тела повторяется.

Ученик-ассистент.

Промежуток времени, через который движение повторяется, называется периодом колебаний. Поэтому говорят, что колебательное движение периодично.

Можно считать, что движение маятника описывается периодической функцией f(t), аргументом которой является время t.

Если Т – период этой функции, то, по определению,

f(t+T) = f(t)

при любом значении t. Зависимость смещения маятника от времени напоминает известную из математики гармоническую функцию, также, периодическую, плавную, модуль которой медленно меняется при максимальных значениях и быстро при минимальных. Она называется синусоидой.

График смещения дает возможность определить координату груза в любой момент времени. Он представляет собой синусоиду (косинусоиду). Поэтому, если координата меняется со временем по закону синуса (косинуса), то в этом случае говорят, что само тело совершает гармонические колебания.

Учитель.

Подведем итоги. Что нового вы узнали из предложенных фактов?

(Закончилась первая часть семинара, снова музыкальная пауза. Звучит музыка на песню «Музыка нас связала»).

II часть

Учитель.

На основе фактов, полученных при непосредственных наблюдениях, построим теоретическую модель колебаний. Она должна состоять из двух компонентов: физической модели, представляющей собой идеализацию реального явления и математической модели, которая содержит уравнения, описывающие идеальную физическую модель.

Ученик 1.

Рассмотрим физическую модель. Для простоты тело маятника заменим материальной точкой с массой m и будем считать, что колебания происходят по прямой вдоль оси х, начало которой О совпадает с положением равновесия маятника. Говоря о силах, скоростях и ускорениях будем подразумевать их проекции на ось х.

Учитель.

А теперь выясним условия совершения механических колебаний.

Ученик-теоретик.

Чтобы выведенное из положения равновесия тело стремилось к этому положению, на тело должна действовать возвращающая сила, направленная к положению равновесия. Наблюдения показывают, что эта сила должна быть тем больше, чем больше смещение х из положения равновесия. Наиболее простое предположение относительно возвращающей силы заключается в том, что она пропорциональна смещению

F = -kx.

Знак «минус» в этой формуле означает, что векторы перемещения и силы направлены в противоположные стороны. Такая сила называется квазиупругой. Совершаемая ею работа равна

A = _{ } .

Учитель.

Теперь перейдем к рассмотрению математической модели. Для ее построения нужно записать уравнение движения маятника и найти его решение.

Ученик-теоретик.

Согласно второму закону Ньютона, произведение массы тела на его ускорение равно действующей на тело силе ma = F, т.е ma = -kx,

ma+kx=0 – дифференциальное уравнение

механических колебаний.

Учитывая, что при движении по прямой ускорение есть вторая производная от координаты, имеем:

ma(t)=m_{ }(t).

Тогда второй закон Ньютона представляет собой уравнение движения:

m_{ }+kx=0 – дифференциальное уравнение

гармонических колебаний

Причем, первая производная есть скорость изменения функции (т.е. смещения), а вторая производная есть скорость изменения этой скорости.

При этом v = _{     }(t₀) при _{ }0

а = _{   }(t₀) при _{ }0

Учитель.

Коротко говорят: производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной. Производная от скорости по времени есть ускорение.

Вторая производная помогает более подробно исследовать поведение функции. В старших классах мы изучим, что вторые производные синуса и косинуса отличаются от самих функций только знаком. Иначе говоря, обе эти функции удовлетворяют при всех значений аргумента t уравнению

^{f’’(t)=-f(t)}

Раз существует дифференциальное уравнение гармонических колебаний, то есть и решение этого уравнения.

Ученик-теоретик.

Вспоминая факты, предположим, колебания, описываемые уравнением, происходят по гармоническому закону, то есть смещение х маятника изменяется со временем t в соответствии с выражением

х = А_{ },

где А – амплитуда, _{   } – фаза, _{ } – круговая или циклическая частота, t – текущее время, _{ } – начальная фаза.

Гармоническая функция периодична, её наименьший фазный период равен 2π. Это значит, что если к ее аргументу (или фазе φ) прибавить эту величину, то значение функции не изменится.

Учитель.

Но аргументом гармонической функции является время t.

Ученик-теоретик.

Поэтому, согласно выражению f(t+T)=f(t) наименьший временной период, или период колебания Т, определяется условием

_{ }, отсюда _{ }, следовательно, _{ }, где _{ }частота колебания.

Учитель.

Анализируя формулы, можно заметить, что при гармонических колебаниях а = - _{ }²х, а = х^’’

Ученик-ассистент.

Подставляя это выражение в уравнение mх^’’+ kx = 0,

получаем -m_{ }²х + kx = 0.

Отсюда, m_{ }² = k

_{ } и Т = _{ }

Таким образом, функция х=А_{ } является решением дифференциаль ного уравнения mх^’’+ kx = 0.

Учитель.

Природа возвращающих сил может быть различной. Рассмотрим задачу, где в роли восстанавливающей силы выступает сила Архимеда.

Задача. Ареометр, погруженный в жидкость, совершает малые вертикальные гармонические колебания с частотой _{ }. Площадь сечения трубки ареометра S, его масса m. Пренебрегая сопротивлением жидкости, найдите плотность жидкости.

Ученик.

Решение.

В задаче рассматриваются свободные незатухающие колебания ареометра. На него действуют сила тяжести m_{ }, направленная вертикально вниз, и сила Архимеда _{ }, направленная вертикально вверх, силой сопротивления жидкости пренебрегаем по условию.

Записываем второй закон Ньютона m_{ } + _{ } = 0.

В проекции на ось х mg = ρgV, где V=ls – объем погруженной в жидкость части ареометра, l – длина погруженной в жидкость части, s – площадь поперечного сечения.

При движении ареометра на него действуют сила тяжести m_{ } и сила Архимеда _{ }, которая будет меняться вместе с глубиной погружения ареометра жидкость.

Результирующая сила будет направлена к положению равновесия, т.е. будет возвращающей

Учитель.

А теперь зададим значения параметрам данной колебательной системы. Жесткость первой пружины равна 25 _{ }, а второй - 15 _{ }. Взвесив на весах шарик, измерили его массу. Она составляет 48 г. Вычислим период гармонических колебаний маятника (учащиеся самостоятельно вычисляют период колебаний).

k₁ = 25 _{ }

k₂ = 15 _{ }

m = 48 г =0,048 кг.

Т = 2π_{ }

T = 6,28_{ } = 0,2 с.

Учитель.

Составим дифференциальное уравнение свободных механических колебаний шарика, присоединенного к двум пружинам, используя значения постоянных данной колебательной системы.

Ученик-практик.

Как было сказано, возвращающей силой является сила упругости, возникающая в обеих пружинах. Поэтому

F_b = F₁ + F₂ = -k₁x – k₂x = -x (k₁+k₂) = - 40x (1)

Используя второй закона Ньютона, имеем

F_b = ma = mx’’ = 0,048x^’’ (2)

Приравняем выражения (1) и (2)

0.048х^’’= - 40x

0,048x^’’+40x=0

Это и есть дифференциальное уравнение свободных колебаний шарика.

Учитель.

А теперь найдем решение дифференциального уравнения, т.е запишем зависимость смещения х маятника от времени t.

Ученик-практик.

Учитывая начальные условия совершения колебаний и значения постоянных величин системы, имеем:

х = А_{ }

A=2см – значение амплитуды колебаний

_{ }=_{ }

_{ }=_{ }= 31,4c^-1 – значение циклической частоты

_{ } 31,4t – данная функция является решением дифференциального

_{ }уравнения.

Учитель.

Изобразим графически гармоническое колебание данного осциллятора. Будем пользоваться методом вращающего вектора амплитуды или методом векторных диаграмм.

Ученик-практик.

Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси х под углом α, равным начальной фазе колебания, отложим вектор А, модуль которого равен амплитуде рассматриваемого колебания.

А=2 см.

φ₀=0

А х

О

Х, см

t, с

Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью ω=31,4 с^-1, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения от –А до +А, т.е. от -2 см. до +2 см. Колеблющаяся величина – смещение шарика будет изменяться со временем по закону

х=А_{ }→ х=2_{ }

Учитель.

Итак, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки по углом φ₀, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью ω вокруг этой точки.

Таким образом, в рассматриваемой теме семинара есть как физические, так и математические модели. Последние обусловлены использованием свойств тригонометрических функций и элементов математического анализа.

Поэтому вы будете более подробно изучать механические колебания вместе с электромагнитными в 11 классе, когда у вас уже будет иметься необходимый математический багаж. А вот физические модели будем рассматривать уже в 10 классе при изучении механики.

Спасибо всем участникам семинара!

Звучит песня на слова песни «Букет из белых роз»

Букет законов свод –

Как тяжело читать слова.

Букет законов свод –

Ньютона будем прославлять!

Тревожно стало вдруг,

Душа готовится в полет!

Кто учит, тот меня поймет!

Литература:

1. Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Орлов В.А.Система обучающих задач по физике: подготовка к ЕГЭ// Физика.2012.№1.С 38-42.

2. Майер В. В, Гармонические колебания //Физика.2011.№14.С 41-44.

3. Рейман А. М. Введение в теорию колебаний // Физика.2011.№15.С 55-57.