Исследовательская работа "Опытное обоснование формул приближенного вычисления площади поверхности шара и объема шара"; 6 класс

Автор :Инешина Светлана Николаевна
Должность:Учитель математики
Место работы: Байкало-Кударинская средняя общеобразовательная школа Название: «Опытное обоснование формул приближенного вычисления площади поверхности шара и объема шара».

Содержание

Введение

I. Опытное обоснование формулы приближенного вычисления площади поверхности шара и формулы объема шара.

1.1 Опыт № 1. Вывод формулы приближенного вычисления длины окружности

1.2 Опыт № 2 Вывод формулы приближенного вычисления площади поверхности шара.

1.3 Опыт №3 Вывод формулы приближенного вычисления площади круга

1.4 Опыт №4 Вывод формулы приближенного вычисления объема шара

II. Заключение

Список литературы

1.1 Выведем формулу длины окружности, для этого:

1. различные круглые тела прокатим по линейке с делениями;

2. найдем диаметры этих окружностей.

3. вычислим отношение длины окружностей к их диаметрам.

Имеем:

Отношение длины окружности к ее диаметру приближенно равно 3,1.

Принимаем данное отношение равным 3,1. Обозначим C:d=π, π≈3,1.

Вывод: Отсюда C=π·d. Учитывая, что d=2R, имеем C=2πR

1.2 Зададим вопрос: нельзя ли практическим путем вывести формулу площади поверхности шара ( сферы) так же, как находят площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, шара или любой призмы, то есть с помощью их развертки в плоскость? Ответ: площадь поверхности шара таким образом найти невозможно, так как никакую сферу развернуть в плоскость нельзя. Очевидно, что площадь поверхности шара состоит из множества окружностей, расположенных параллельно друг другу, большая из которых проходит через диаметр сферы – большой круг. Окружности должны быть однородными, иначе вычисления будут неверными. Найдя длину каждой такой окружности и сложив их длины, можно ответить на заданный вопрос. Но, считаю, что по этим окружностям определить площадь поверхности невозможно.

Воспользуемся одним из опытов, с помощью которого древние люди находили связь между площадью большого круга и площадью поверхности шара:

1. Возьмем модель полушара, вставим в нее металлический стержень так, чтобы он проходил через центр большого круга и через вершину полушара.

2. Прикрепим конец шнура к стержню, в вершине полушара, и покроем шнуром поверхность полушара, укладывая его спиралью.

3. Так же покроем спиралью основание полушара- большой круг.

4. Измерим длины использованных шнуров.

5. Сравним длины шнуров.

Имеем:

Видно, что длина шнура, затраченного на покрытие основания, т.е. круга радиусом R, приблизительно в 2 раза меньше длины шнура, покрывающего поверхность полушара радиусом R.

Значит площадь поверхности полушара равна произведению площади большого круга πR² на 2, т.е. Sполушара = 2πR².

Вывод: Площадь поверхности шара равна 4πR².

1.3 Найдем площадь круга, разрезав его на четное число равных секторов и выложив из этих секторов фигуру.

Например:

1. разделим круг на 8 равных частей- секторов.

2. разделим круг на 16 равных частей- секторов.

Имеем:

Видно, что при достаточно большом числе разбиений на секторы можно приближенно считать высоту получившейся фигуры равной радиусу данного круга, а длину ее основания- равной длине полуокружности.

Вывод: площадь круга можно вычислить, умножив длину его полуокружности πR на радиус R: S=πR·R или S=πR².

1.4 Попробуем вычислить формулу объема шара. Модель шара можно рассмотреть, сложив множество плоских кругов друг на друга, примерно как складывают детскую игрушку «пирамидка». Но найти объем шара, таким образом, будет сложно. Лучше поступим также, как при сравнении объема куба с объемом пирамиды, имеющих равные основания и высоту.

Проведем опыт: выберем для этого полые модели конуса и полушара так, чтобы радиус основания конуса и его высота равнялись радиусу полушара.

1. Наполним сосуд-конус песком.

2. Измерим количество песка в сосуде-конусе с помощью мерного стакана.

3. Наполним песком сосуд-полушар.

4. Измерим количество песка в сосуде-полушаре с помощью мерного стакана.

Имеем:

Объем полушара примерно в 2 раза больше объема конуса.

Зная, что объем конуса, также как и объем пирамиды измеряется по формуле V=1/3 S·H, где S- площадь основания, H- высота конуса (H=R), имеем: объем полушара равен двум объемам конуса.

Объем всего шара равен произведению объема полушара на 2.

V_шара= 2· 1/3 S·H·2, V_шара = 4 S·H·1/3.

Т.к. S=πR², то V_шара= 4 πR²·1/3H

Вывод: объем шара равен площади его поверхности, умноженной на 1/3 радиуса. V_шара=4πR²·1/3R.