Статья "Уроки повторения в 11 классе (профильный курс) по теме "Решение неравенств алгебраическим методом"

Уроки повторения в 11 классе (профильный курс) по теме

«Решение неравенств алгебраическим методом»

Лебедеве Е.В.

учитель математики, МАОУ СШ №60 г.Липецка»,

Lebedeva77744@yаndex.ru.

В статье рассмотрен опыт организации уроков повторения по теме «Решение неравенств алгебраическим методом» в 11 классе (профильный курс). Цикл уроков повторения нацелен на обобщение и закрепление системы знаний, умений и навыков выполнять учебные действия, позволяющие успешно справляться с решением трансцендентных неравенств. В статье также приводится план-конспект урока по теме «Решение логарифмических неравенств алгебраическим методом».

Ключевые слова: решение трансцендентных неравенств, алгебраический метод, подготовка к ЕГЭ.

Цикл уроков повторения по теме «Решение неравенств алгебраическим методом» рассчитан на 11 часов (см. таблицу 1) и включает в себя решение задач обучающимися, работа с опорными конспектами, выполнения тестовых заданий, само- и взаимооценка выполненных решений неравенств по примерным критериям оценивания.

Организация повторения по теме «Решение неравенств алгебраическим способом» нацелено на обобщение и закрепление системы знаний, умений и навыков выполнять учебные действия, позволяющие успешно справляться с решением трансцендентных неравенств.

Обучающиеся повторят/закрепят навыки (на уровне учебных действий):

• применять основные свойства логарифмических, степенных, показательных и тригонометрических функций;

• характеризовать поведение функций и зависимостей;

• выполнять равносильные преобразования, используя знания теорем о равносильных преобразованиях;

• возводить в четную или нечетную степень, производить логарифмирование, потенцирование выражений;

• исходя из условия задачи, составлять неравенства, их системы и находить значения искомых величин;

• решать системы и совокупности неравенств;

• находить область допустимых значений неравенства;

• применять метод интервалов и его обобщения при решении неравенств, содержащих различные функции, а также при решении трансцендентных неравенств, используя идею рационализации неравенств;

• излагать и оформлять решение логически последовательно, с необходимыми пояснениями;

• решать неравенства и системы неравенств, содержащих логарифмические, степенные, показательные функции без ограничения по уровню сложности тождественных преобразований.

Таблица 1. Тематическое планирование

Содержание

Тема 1. Иррациональные неравенства.

Рассматриваются равносильные преобразования, позволяющие свести неравенство к равносильной системе или совокупности систем. Даются схемы решения иррациональных неравенств, например, неравенств вида (<, , ), (<, , ), в том числе схемы рационализации.

Тема 2. Метод интервалов. Обобщение метода интервалов

Рассматриваются метод интервалов и его обобщения. Повторяются основные свойства (знакопостоянство, монотонность и др.) степенных, показательных, логарифмических функций, также понятие непрерывности и её применение при решении задач.

Тема 3. Неравенства, содержащие выражения с модулями

Рассматриваются основные свойства модуля, его геометрическая интерпретация. Даются схемы решения неравенств вида (<, , ), (<, , ), в том числе схемы рационализации. Рассматриваются метод промежутков и метод областей, который может быть полезен при решении заданий с параметром.

Тема 4. Неравенства, содержащие показательные выражения

Рассматриваются стандартные схемы решения показательных неравенств вида (<, , ), и (<, , ). Особое внимание уделяется логарифмированию, как одному из способов решения показательных неравенств, и рационализации.

Тема 5. Неравенства, содержащие логарифмические выражения

Рассматриваются стандартные схемы решения логарифмических неравенств вида. Особое внимание уделяется потенцированию, как одному из способов решения логарифмических неравенств, и методы рационализации.

Итоговая работа может быть проведена следующим образом:

1. Задания 1-9 выполняются обучающимися во внеурочное время после проведения всех запланированных уроков повторения по данной теме.

2. Задание 1-6 и любое из заданий 7-9 на выбор обучающегося выполняются на уроке. В этом случае тематическое планирование подвергается корректировке по усмотрению учителя (выделяется один урок на проведение диагностической работы)

Диагностическая работа

по теме «Решение неравенств алгебраическим методом»

Для заданий 1 – 6 укажите все правильные ответы [3].

1. Какие из приведенных неравенств равносильны неравенству ?

2. Какие числа из указанных удовлетворяют неравенству ?

3. Какое из указанных множеств является множеством всех решений неравенств ?

4. Каким из перечисленных неравенств равносильно неравенство ?

5. Каким из перечисленных неравенств равносильно неравенство вида при условии, что , , и ?

6. Какие множества являются подмножествами множества всех решений неравенства

Для заданий 7-9 приведите полное обоснованное решение.

Решите неравенство:

7. .

8. .

9. .

План-конспект урока по теме

«Решение логарифмических неравенств алгебраическим методом»

Цель:  отработка навыков решения логарифмических неравенств алгебраическим методом.

Планируемые результаты (на уровне учебных действий)

Предметные: исходя из условия задачи, составлять неравенства, их системы и находить значения искомых величин; излагать и оформлять решение логически последовательно, с необходимыми пояснениями; решать неравенства и системы неравенств, содержащих логарифмические функции без ограничения по уровню сложности тождественных преобразований.

Метапредметные. Познавательные УУД: выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий; построение логической цепи рассуждений. Регулятивные УУД: представлять результаты работы; развитие навыков самооценки и самоанализа; владеть волевой саморегуляцией как способности к мобилизации сил и энергии. Коммуникативные УУД: осуществлять взаимный контроль и оказывать в сотрудничестве необходимую взаимопомощь; организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, планировать общие способы работы; умение договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов. Личностные УУД: применять полученные знания на практике; потребность в справедливом оценивании своей работы и работы одноклассников; желание приобретать новые знания, умения, совершенствовать имеющиеся;

Личностные: сформированность ответственного отношения к учению на основе мотивации и стремлению к познанию,  осознанному выбору и построению индивидуальной образовательной траектории; сформированность потребности самореализации в творческой и учебной деятельности, выражающаяся в креативности мышления, инициативности, активности при решении математических задач; умение контролировать процесс и прогнозировать результаты учебной мате­матической деятельности.

Ход урока:

1. Вступительное слово учителя

Задание 15 второй части ЕГЭ профильного уровня – задание повышенного уровня сложности и нацелено своим содержанием на проверку умений решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, неравенства с модулем, их системы. При решении неравенств можно применять алгебраический метод, при котором выполняются равносильные преобразования отдельных выражений, входящих в неравенство. В частности, используют преобразования, позволяющие привести неравенство к более простому виду, например, возведение в четную степень, логарифмирование, рационализация.

Главное требование при оформлении заданий с развёрнутым ответом – решение должно быть математически грамотным и обоснованным, из него должен быть понятен ход рассуждений автора работы; при этом выбранный метод и форма записи решения может быть произвольным.

2. Актуализация знаний. Вспомнить определение модуля и схемы рационализации для решения неравенств вида: , и .

На области определения каждого из выражений равносильны следующие преобразования (замены на рационализирующее выражение):

,

, .

3.Решение неравенств.

3.1. Решите неравенство [1].

.

Ответ: .

3.2. Решите неравенство

[2].

Решение.

ОДЗ: .

Так как , то , тогда неравенство верно для всех . Итак, ОДЗ исходного неравенства – промежуток .

Выполним преобразования, используя формулу перехода к новому основанию: ,

тогда

.

На ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству

.

На ОДЗ , тогда

С учетом ОДЗ, получаем ответ

Ответ: .

4.Самостоятельное решение обучающимися неравенств, с последующей самопроверкой/взаимопроверкой по критериям оценивания (см. таблицу 2).

Решите неравенство

Вариант 1. [2]. Ответ: .

Вариант 2. [2]. Ответ: .

Решение задания из варианта 1.

Решите неравенство .

Решение. ОДЗ:

Таким образом, ОДЗ исходного неравенства .

,

т.к. на ОДЗ и для .

Далее,

.

Решим последнее неравенство методом интервалов (рис.1):

Рис.1

С учетом ОДЗ, решение исходного неравенства имеет вида (рис.2):

Рис.2

Ответ: .

Таблица 2.Критерии оценивания

Используемая литература.

1. Готовимся к ГИА и ЕГЭ: математика: учимся решать задания со знаком модуля: пособие для обучающихся / Е.В. Лебедева, В.А. Семиряжко. – М.: ООО «Русское слово – учебник», 2014. – 88 с.

2. Сергеев И.Н. Математика: задачи с ответами и решениями. Пособие для поступающих в вузы. — 2-е изд., доп. — М.: КДУ, 2004. — 360 с.

3. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для 10 класса общеобразовательных организаций. Базовый и углублённый уровни / В.В. Козлов, А.А. Никитин, В.С. Белоносов и др.; под ред. В.В. Козлова и А.А. Никитина. – М.: ООО «Русское слово – учебник», 2014. — 464 с.