Презентация к уроку математики "Система уравнений как математическая модель реальной ситуации"

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ Урок 1 Урок 2 Урок 3 Урок 4 Урок 5

Урок 1 Цели: показать способ решения задач с помощью составления систем уравнений второй степени; способствовать развитию навыков и умений при решении систем уравнений.

Пусть скорость второго велосипедиста х км/ч, тогда скорость первого (х + 3) км/ч. 120 ч время движения второго велосипедиста, х 120 х 3 ч время движения первого По смыслу задачи х > велосипедиста. 120 120 х  х 3 2 х1 = 12; задачи. 0. х2 = – 15 не удовлетворяет смыслу О т в е т: 15 км/ч; 12 км/ч.

Решим задачу № 7.1 с помощью введения двух переменных. Пусть скорость первого поезда х км/ч, а скорость второго поезда у км/ч. ( х  у ) 5 700  2 х  9 у 700 Решите систему  х 80   у 60 О т в е т: 80 км/ч; 60 км/ ч.

Решить задачу № 7.5 Пусть первое число равно х, второе число у.  х 46  у  х  у 46   2 2 2 2 (46  у )  у 1130   х  у 1130 Решим уравнение: (46 – у)2 + у2 = 1130 2116 – 92у + у2 + у2 – 1130 = 0 Если у = 17, то х = 46 – 17 = 2у2 – 92у + 986 = 0 29; у2 – 46у + 493 = 0 если у = 29, то х = 46 – 29 = D = 144; у1 = 17; у2 = 29. 17. О т в е т: 29 и 17.

Решить задачу № 7.2 Пусть х км/ч собственная скорость лодки, у км/ч скорость течения реки. Тогда (х + у) км/ч скорость по течению реки; (х – у) км/ч скорость лодки против течения реки. ( х  у ) 2 14,  4  ( х  у ) 2 5 14;  х 6,   у 1. О т в е т: 6 км/ч; 1 км/ ч.

Решить № 7.6 самостоятельно Пусть первое натуральное число равно х, второе число равно у.  х  у 24,  х 24  у,   (24  у ) у 481.  ху 481; Решим уравнение: у2 + 24у – 481 = 0 D = 2500; у1 = 13; у2 = – 37 у = – 37 не удовлетворяет условию задачи, что у – натуральное число. Если у = 13, то х = 24 + 13 = 37. О т в е т: 37 и 13.

Решить № 7.8 самостоятельно Пусть первое натуральное число равно х, второе – у. Составим и решим систему уравнений.  х  у 50,  2 2 ( х  у )  ху 11;  у1 = 19; у2 = 131 не удовлетворяет условию задачи (сумма двух натуральных чисел равна 50). Если у = 19, то х = 50 – 19 = 31. О т в е т: 31 и 19.

Изобразив схематически графики уравнений, определите, сколько решений имеет система уравнений: хх22 уу2 2 9, 16,  32  5. х  уу  х ;

Урок 2. Цели: упражнять учащихся в составлении систем уравнений как математических моделей реальных ситуаций при решении задач; способствовать выработке навыков и умений при решении систем уравнений различными способами.

Решить уравнение: 22 10 10 1122хх 22х х 2 2 10 10 1122ххх х  2 2  ;;   хх хх  22хх хх 22 хх хх( (хх 2)2) хх 22 2х – 4 + 10 = х + 2х2; 2х2 – х – 6 = 0; D = 49; х1 = – 1,5; х2 = 2. Проверка показывает, что х = 2 не является корнем. О т в е т: – 1,5.

вычесть произведение его цифр, то получится 34. Найдите исходное число. Пусть х – число десятков двузначного числа, у – число единиц двузначного числа. Тогда (10х + у) данное двузначное число. 10 х  у 6 ( х  у), 10 х  у  6 х  6 у 0, 4 х  5 у 0,    (10 х  у )  ху 34; 10 х  у  ху 34; 10 х  у  ху 34. Подстановка у = 0,8х; тогда 10х + 0,8х – х · 0,8х = 34; 2 0,8х – 10,8х + 34 = 0 | : 0,2; 4х2 – 54х + 170 = 0 | : 2; 2х2 – 27х + 85 = 0; D = 729 – 680 = 49; х1 = 5; х2 = 8,5 не удовлетворяет условию задачи. Если х = 5, то у = 0,8х = 0,8 · 5 = 4. Число 54. О т в е т: 54.

Решить задачу № 7.11 самостоятельно. Пусть х числитель дроби, у знаменатель дроби, тогда исходная дробь. ххх 111 111,  ,, у  1  уу11 222 х 222  у 222 146; 146; 146; хх  уу  х у 222ххх 222  ууу 1, 1,1,  222 222 ууу   146; 146; 146; ххх  ууу  222ххх 1, 1,1,  222 222 х  (2 х  1) (2хх1) 1)   146. 146. 146. хх (2 Условию задачи удовлетворяет х = 5, тогда у = 2 · 5 + 1Отве = 11. 5 . т: 11

8, ; Решить задачу № 7.12 периметр прямоугольника Р = (а + b) · 2 и теорема Пифагора с2 = а2 + b 2. Пусть стороны прямоугольника равны х см и у см. Тогда периметр (х + у) · 2 = 28; по теореме Пифагора х2 + у2 = 102 = 100. ) 14, 2 28, у,  (ххуу хх14у 14,  х 14  у,  2  2  2 22 2 2 2 х  у  100; (14 х   у у )   100; у  100. (14  у )  у 100.    Решим уравнение: 196 – 28у + у2 + у2 = 100; Если у = 6, то х = 14 – 6 = 8; 2у2 – 28у + 96 = 0; если у = 8, то х = 14 – 8 = 6. у2 – 14у + 48 = 0; О т в е т: 6 см и 8 у1 = 6; у2 = 8. см.

Решить задачу № 7.15 Пусть х и у – катеты прямоугольного треугольника 1   ху 210, 2  х 2  у 2 1369;   ху 420 | 2,  2 2 х  у 1369;  О т в е т: 84 см. 2 ху 840,  2 2 х  у 1369. 

Решить задачу № 7.48 х м/с – скорость первого тела; у м/с – скорость второго тела. (60  3 х) 2  (80  3 у ) 2 70 2 По теореме Пифагора  2 2 2 (60  5 х)  (80  5 у ) 50 . 3 х 2  3 у 2  120получим 3Сложим х  160 у  1700–0, х 2  3 у 2  120 х  160 у  1700 0, почленно, два уравнения   2 2 2 2 = у800  у – 64у 24 х  32  300 0 | ( 3)   3 х  3 у  72 х  96 у  900 0.  х48х О т в е т: 6 м/с; 8 м/ с.

Урок 3. Цели: научить учащихся решать задачи на совместную работу с помощью составления систем уравнений; закреплять знания и умения учащихся в решении систем уравнений различными методами; развивать логическое мышление учащихся.

Самостоятельная работа (15–20 мин). Вариант I 1. Прямоугольный участок земли площадью 3250 м 2 обнесен изгородью, длина которой 230 м. Найдите длину и ширину участка. 2. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа. В а р и а н т II 1. Разность двух числе равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа. 2. Прямоугольный участок земли площадью 2080 м 2 обнесен изгородью, длина которой равна 184 м. Найдите длину и ширину участка.

Решение задач на совместную работу. № 7.22 Примем объем работы (задания) за 1. х ч. работает первая бригада одна; у ч. в одиночку выполнит все задание вторая бригада; 1 х часть работы, выполненная первой бригадой за 1 1 ч; у производительность второй бригады за 1 ч; 1 производительность обеих бригад за 1 ч. 8

 у  х 12,  у  х 12,  1 1 1  1 1 1  ; х у ; 8  х   у 8 у 12  х,   у 12  х,  8 у  8 х ху. 8 у  8 х ху.  8(12 + х) + 8х = х(12 + х) 96 + 8х + 8х = 12х + х2 х2 – 4х – 96 = 0 D = 400; х1 = 12; х2 = – 8 не удовлетворяет условию задачи. Если х = 12, то у = 12 + 12 = 24. О т в е т: 12 ч.

Решить задачу № 7.23 самостоятельно. Примем объем всей работы за 1. Пусть первый экскаватор один работает х ч, второй в одиночку выполнит всю работу за у ч, тогда у – х = 4; 1 х часть выполненная первым 1 экскаватором за 1 ч, у производительность второго за 1 ч; 1 4  45 15 3 60 работы, проверка производительность обоих

№ 7.26. Примем площадь всего поля за 1. Пусть один тракторист половину поля вспахал за х ч, а второй половину поля вспахал за у ч, тогда оба они поле вспахали за 100 ч, значит, х + у = 100. часть поля вспашет один тракторист отдельно за 1 ч; 1 2х 1 2у часть поля вспашет отдельно второй тракторист за 1 ч; производительность обоих трактористов 1 48 за 1 ч.

100, 100 хуху  у100, 100,  х х х100 100 у,у, у ,  х 100  у,   100  у, у,  х х100  1 1 11 1 11 1 1  2424 24 2424 24      ; ; ;    1;1;1;  24 у у24 24 х х24  ху ;;ху; 24 у 24  х ху   2х х 22х2у у 248 у48 48  х х ху у у  х 100  у,  24 у  24(100  у ) (100  у ) у. у2 – 100у + 2400 = 0; у1 = 40; у2 = 60. Если у = 40, то х = 100 – 40 = 60; если у = 60, то х = 100 – 60 = 40. Все поле один тракторист вспахал бы за 60 · 2 = 120 (ч), а другой за 40 · 2 = 80 (ч), если каждый тракторист работал бы отдельно. О т в е т: 120 ч; 80 ч.

Примем за 1 объем воды в бассейне. Если первая труба наполняет № 7.47 бассейн за х ч, а вторая опорожняет его за у ч, то к имеющемуся 1 количеству воды, равному 3 емкости бассейна, за 8 ч нальется 8 8 , х а выльется у емкости бассейна. Поскольку бассейн в итоге оказывается пустым, то это значит, что 1 8 8 Второе уравнение х – у = 2.   . 3 х у 1 8 8    , 3 х у  х  у 2;  у2 + 2у – 48 = 0;  24 у 24 х, ху 2) у  24 узадачи; 24( у  2),  ( у  условию у1 = – 8 не удовлетворяет   х  у  2; у2 = 6. Если у = 6, то х=х  6 +у  2 2. = 8. О т в е т: 8 ч; 6 ч.

Урок 4 Цели: закрепить у учащихся навыки и умения решения задач с помощью систем уравнений второй степени; развивать логическое мышление учащихся.

составления систем уравнений. № 7.19 Пусть х – число рядов в синем зале кинотеатра; у – число мест в каждом ряду синего зала. Тогда х + 2 число рядов в красном зале, у – 4 число мест в каждом ряду красного зала. ( х  2)( у  4) 320,   ху 360; х1 = 18; х2 = – 10 не удовлетворяет условию задачи х > 0. Если х = 18, то у = 2 · 18 – 16 = 20. В синем зале 18 рядов, в красном зале 20 рядов. О т в е т: 20 рядов; 18 рядов.

Решить задачу № 7.20 самостоятельно Пусть х – число учеников, собирающихся сдавать экзамены для поступления в колледж; у – число листов, предполагаемых для каждого ученика. Тогда х – 20 учеников сдавали экзамен по математике; у + 1 лист дали каждому ученику на экзамене по математике. у1 = 4;  ху 400, у2 = – 5 не удовлетворяет у > 0.  ( х  20)( у  1) 400; Если у = 4, то х = 20 × 4 + 20 = 100. Поступало в колледж 100 человек, а по математике сдавало экзамен 80 человек. О т в е т: 80 человек.

Решить задачу № 7.16 . Пусть х км/ч – собственная скорость лодки; у км/ч – скорость течения реки. Тогда (х + у) км/ч – скорость лодки по течению реки; (х – у) км/ч – скорость лодки против течения реки 20 ч время движения лодки по течению реки; ху 20 ч время движения лодки против течения реки. х у 20 20 + = 7. Всего затрачено 7 ч, тогда х  у х у 2 ч время движения лодки против течения реки; х у 5 ч турист затратил время на движение по течению реки. х у 2 5 = Время движения одинаковое, тогда х  у ху

20  20  х  у  х  у 7,    2  5 ;  х  у х  у Обозначи м 2 5 = а, = b. х у х у то есть х – у = 1  2 1 4; 1 1 b  ,   ,  b 2 0а  4b 7, 14b 7, b  , ,  = а а 4b4 b 7, 7,  1414 b b 7, 7,    2 2 х  у 2 1010 b;  1 аb; а  а  а b  ; b ; а  а b  ; b ; 1 то есть х + у = 10. а . 1 1 5     = , а . .  а 2   2 2 х  у 2  х  у 4, 2 х 14,  х 7,    Решим систему уравнений  х  у 10;  х  у 10;  у 3. О т в е т: 3 км/ ч.

Решить задачу № 7.42. Пусть х км/ч – скорость катера в стоячей воде, у км/ч – скорость течения. 96  96  х  у  х  у 14,   х  у  4 ( х  у ).  3  х 14,   у 2. О т в е т: 24 км.

Решить графически систему уравнений 2 2  х  у 16,   х  у 4. О т в е т: (4; 0); (0; – 4).

Урок 5 Цели: способствовать выработке навыков и умений решать задачи и системы уравнений различными методами; развивать логическое мышление учащихся.

Ответить на вопросы: а) Какие методы решения систем двух уравнений с двумя переменными вы знаете? б) Назвать варианты при решении систем уравнений методом введения новых переменных. в) Назвать уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r. г) Сформулировать теорему об уравнении окружности.

Решить задачу № 7.28. Пусть х – число десятков двузначного числа, у – число единиц. Тогда исходное двузначное число равно 10х + у.  х 2  у 2 13,  (10 х  у )  9 10 у  х;  х 2  у 2 13,  9 х  9 у 9; О т в е т: 32.

Решить задачу № 7.32. Пусть х – число десятков исходного числа, у – число его единиц. Исходное двузначное число равно 10х + у. 10 10ххуу( х( хуу) )776,6,  33хуху( х( хуу);); 10 10ххуу 10 10ххуу77хх77уу6,6,  33хухухху;у; 10 10ххуу 3х  6 у 6,  х  2 у 2,  х 2  2 у,    3 ху  9 х  0; ху  3 х  0;   (2  2 у) у  3(2  2 у ) 0. Решим уравнение: 2у + 2у2 – 6 – 6у = 0, у2 – 2у – 3 = 0. у1 = 3, у2 = – 1 не удовлетворяет у > 0. Если у = 3, то х = 2 + 2 · 3 = 8. Исходное число 83. О т в е т: 83.

Решение Пусть х км/ч – скорость велосипедиста, у км/ч – скорость мотоциклиста. Решить 7.34 600 м/мин№ = 36 км/ч.самостоятельно.  у  х 36,  120 120  х  у 3;   у 36  х,  120 у  120 х 3 ху;  у 36  х,  40 у  40 х ху;  у 36  х,  40(36  х)  40 х (36  х) х. х2 + 36х – 1440 = 0; D = 7056 = 842; х1 = – 60 не удовлетворяет условию задачи х > 0; х2 = 24. Если х = 24, то у = 36 + 24 = 60. О т в е т: 24 км/ч и 60 км/ч.

Решить задачу № 7.43 на совместную работу Объем всей работы примем за 1. Пусть первая наборщица сделала половину всей работы за х ч, а вторая остальную половину работы сделала за у часов.  х  у 12,5,  1 1 1  2 х  2 у 6 ;   х 12,5  у,  3 у  3 х ху;  х 12,5  у,  3( х  у ) ху; Половина работы одной наборщицей сделана за 5 ч, значит, вся работа ею будет выполнена отдельно за 10 ч, а вторая наборщица в одиночку выполнит работу за 15 ч. О т в е т: 10 ч; 15 ч.

Решить задачу 7.39 Пусть х км/ч – скорость первого поезда; тогда (х + 40) км/ч – скорость второго поезда. 2у км – расстояние между А и В. 15 Время 3 ч 45 мин = ч. 4 15 х 15( х  40) 2 у,  4  4  у у  2.  х х  40 О т в е т: 60 км/ч; 100 км/ ч.

Источники материалов: • Мордкович, А. Г. Алгебра. 9 класс : в 2 ч. Ч. 1 : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – М. : Мнемозина, 2011; Алгебра. 9 класс : в 2 ч. Ч. 2 : задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович [и др.] ; под ред. А. Г. Мордковича. – М. : Мнемозина, 2011. • Алгебра. 9 класс : поурочные планы по учебнику А. Г. Мордковича / авт.-сост. Т. Л. Афанасьева, Л. А. Тапилина. – Изд. 2-е, стереотип. – Волгоград: Учитель, 2008. – 255 с. •