Интерактивное методическое пособие "Типы тригонометрических уравнений"

Масыгина Ирина Александровна, преподаватель математики бюджетного профессионального образовательного учреждения Вологодской области «Череповецкий металлургический колледж имени академика И.П. Бардина»

Основные типы тригонометрических уравнений Простейшие тригонометрические уравнения т а б л и ц а Уравнения сводящиеся к квадратным Однородные уравнения первой степени Частные случаи простейших уравнений Уравнения решаемые разложением на множители Однородные уравнения второй степени Однородные уравнения второй степени *

Простейшие тригонометрические уравнения sinx=a cosx=a X=(-1)karcsina +∏k, k Z X= arccosa +2∏k, k Z X=arcctga +∏k, k Z X=arctga +∏k, k Z ctgx=a tgx=a

Частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений sinx=1  x   2k , k  Z 2 sinx=-1  x    2k , k  Z 2 sinx=0 x k , k  Z cosx=1 x 2 k , k  Z cosx=-1 x   2 k , k  Z cosx=0  x   k , k  Z 2

Уравнения, сводящиеся к квадратным Уравнение содержит только синусы или косинусы или тангенсы Уравнение содержит косинус двойного угла и cos2x или sin2x Уравнение содержит синусы и косинусы Уравнение содержит косинус двойного угла и cosx или sinx Уравнение содержит тангенсы и котангенсы

Уравнение содержит только синусы или косинусы или тангенсы Используется метод введения новой переменной 2 10 cos x  11 cos x  6 0 t cos x 10 t 2  11t  6 0 cos x  2 5 D 121  240  361  11  19 3 t1   20 2  11  19 2 t2   20 5 2 x  arccos    2k , k  Z 5 cos x   нет 3 2 решений

Уравнение содержит синусы и косинусы Используется формула: sin 2 x  cos 2 x 1 3 cos 2 x  11 sin x  9 0 3( 1  sin 2 x  11 sin x  9 0 2 3 3  3 sin 2 x  11 sin x  9 0 sin x    3 sin 2 x  11 sin x  6 0  2 x (  1 ) k arcsin     k  3 2 x (  1 ) k 1 ac sin   k , k  Z 3 3 sin 2 x  11 sin x  6 0 t  sin x 3t 2  11t  6 0 sin x   3 D 121  72  49 нет  11  7  3 6  11  7 2 t2   6 3 t1  решений

Уравнение содержит тангенсы и котангенсы Используется формула: tgx ctgx 1 7 tgx  2 ctgx  5 0 1 7 tgx  2   5 0 tgx 2 7 tg x  2  5 tgx 0 tgx 0 t tgx 7 t 2  2  5 t 0 7 t 2  5 t  2 0 D  25  56 81 t1 t2  5 9   1 14  5 9 2   14 7 tgx   1 x  arctg   1  k x    k , k  Z 4 2 tgx  7 2 x arctg  n , 7 nZ

Уравнение содержит косинус двойного угла и sin2 х или cos 2х Применяются формулы косинуса двойного угла cos 2 x  sin 2 x cos 2 x 2 cos 2 x  1 cos 2 x 1  2 sin 2 x cos 2 x 6 cos 2 x  3 cos 2 x  5 0 6 ( 2 cos 2 x  1 )  3 cos 2 x  5 0 12 cos 2 x  6  3 cos 2 x  5 0 9 cos 2 x  1 0 9 cos 2 x 1 1 cos 2 x  9 1 cos x   3 1 cos x   3 1 x  arccos    2n , n  Z 3   1  x     arccos     2k , k  Z  3  

Уравнение содержит косинус двойного угла и sin х или cos х Применяются формулы косинуса двойного угла cos 2 x  sin 2 x cos 2 x 2 cos 2 x  1 cos 2 x 1  2 sin 2 x cos 2 x 3 cos 2 x  19 cos x  6 0 3( 2 cos 2 x  1 )  19 cos x  6 0 6 cos 2 x  3  19 cos x  6 0 6 cos 2 x  19 cos x  3 0 cos x  1 6 1 x  arccos    2k , k  Z 6  t cos x 6 t 2  19 t  3 0 D  361  72  289 19  17 1 t1   12 6 19  17 t2  3 12 cos x  3 нет решений

Уравнения, решаемые разложением на множители Вынесение общего множителя за скобки Применение формулы синуса двойного угла Применение формул суммы и разности синусов (косинусов)

Вынесение общего множителя за скобки cos 2 x  3 cos x 0 cos x (cos x  3 ) 0 cos x 0 или  x   k , k  Z 2 сosx  3 0 cos x  3 решений нет

Применение формул разности суммы или разности синусов (косинусов)     sin   sin   2 sin cos 2 2     sin   sin   2 sin cos 2 2     cos   cos   2 cos cos 2 2     cos   cos    2 sin sin 2 2

Применение формул разности суммы или разности синусов (косинусов) sin 5 x  sin 7 x 0 5x 7x 5x  7x 2 sin cos 0 2 2 2 sin 6 x cos(  x ) 0 sin 6 x 0 6 x k k x  ,k  Z 6 или сos (  x ) 0 cos x 0  x   n , n  Z 2

Применение формулы синуса двойного угла Применяется формула: 2sinxcosx=sin2x sin 2 x  8 sin x 0 2 sin x cos x  8 sin x 0 sin x ( 2 cos x  8 ) 0 sin x 0 x k , k  Z или 2 сosx  8 0 2 cos x 8 cos x  4 нет решений

Применение формулы синуса двойного угла Применяется формула: 2sinxcosx=sin2x 5 sin 2 x  4 cos 2 x 0 5 2 sin x cos x  4 cos 2 x 0 cos x ( 10 sin x  4 cos x ) 0 10 sin x  4 сosx 0 cos x 0 x   2  n , n  Z или делим на cos x 0 10 sin x 4 cos x  0 cos x cos x 10 tgx  4 0 2 tgx  5 2 x  arctg  k , k  Z 5

Однородные тригонометрические уравнения первого порядка Решаются делением обеих частей на cosx≠0 4 cos x  5 sin x 0 делим на cos x 0 4 cos x 5 sin x  0 cos x cos x 4  5 tgx 0 4 tgx   5 4 x   arctg  k , k  Z 5

Однородные тригонометрические уравнения второго порядка Решаются делением обеих частей на cos 2 x≠0 Применяются формулы: 2sinxcosx=sin2x sin 2 x  cos 2 x 1 7 sin 2 x  22 cos 2 x  10 0 7 2 sin x cos x  22 cos 2 x  10 (sin 2 x  cos 2 x ) 0 14 sin x cos x  22 cos 2 x  10 sin 2 x  10 cos 2 x 0 10 sin 2 x  14 sin x cos x  12 cos 2 x 0 делим на cos 2 x 0

Однородные тригонометрические уравнения второго порядка sin 2 x sin x cos x cos 2 x 10  14   12 0 2 2 2 cos x cos x cos x 10 tg 2 x  14 tgx  12 0 3 t tgx 2 10 t  14 t  12 0 5 t 2  7 t  6 0 D  49  120 169  7  13 t1   2 10  7  13 3 t2   10 5 tgx  5 x  arctg 3  n , 5 tgx   2 x   arctg 2  k , nZ k Z

Однородные тригонометрические уравнения второго порядка ** Решаются с применением формул синуса и косинуса двойного аргумента и основного тригонометрического тождества: 2sinxcosx=sin2x cos 2 x  sin 2 x cos 2 x 2 2 sin x  cos x 1

Однородные тригонометрические уравнения второго порядка ** cos x  21 sin x  9 0 x x  2 x   2 x 2 x 2 x  sin   21  2 sin cos   9  sin  cos  0  cos 2 2 2 2  2 2   x x x x x x cos 2  sin 2  42 sin cos  9 sin 2  9 cos 2 0 2 2 2 2 2 2 x x x x  10 sin 2  42 sin cos  8 cos 2 0 2 2 2 2

Однородные тригонометрические уравнения второго порядка ** x x x 2 x 5 sin  21 sin cos  4 cos 0 2 2 2 2 2 x делим на cos 0 2 x x x x sin 2 sin cos cos 2 2  21 2 2 4 2 0 5 2 x 2 x 2 x cos cos cos 2 2 2 x 2 x 5 tg  21tg  4 0 2 2 2

Однородные тригонометрические уравнения второго порядка ** t tgx 5 t 2  21t  4 0 D  441  80  361  21  19 t1   4 10  21  19 1 t2   10 5 tgx   4 x   arctg 4  n , nZ tgx   1 5 1 x   arctg  k , 5 kZ

Таблица значений тригонометрических функций

Литература: Основная: 1) Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. Часть 1 : Учебник, М.: Мнемозина, 2003 2)Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. Часть 2 : Задачник, М.: Мнемозина, 2003   Дополнительная: Кривоногов В. В. Нестандартные занятия по математике 5-11, М. : Первое сентября, 2002 Фон презентации авторский