Конспект урока математики "Решение логарифмических уравнений"

Рассмотрено и согласовано на заседании методической комиссии Председатель метод.комиссии ______________ Данекина С.А. протокол №__ от ______ 202 г.

УТВЕРЖДАЮ: Заместитель директора по учебно-производственной работе ГПОУ «ЕНАКИЕВСКИЙПЛ» ___________ Цыбровская М.Ю. "___" ____________202___ г.

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА

Дисциплина: ОДп 01. Математика

(алгебра, начала математического анализа, геометрия)

Тема программы: Логарифмическая функция

Тема урока: Решение логарифмических уравнений

Разработала

Преподаватель

ГПОУ «ЕНАКИЕВСКИЙПЛ»

Пустынская Т.М.

Енакиево–2025

Курс І група №СВ-1-25 (45 минут)-

Тема программы: Логарифмическая функция

Тема урока: Решение логарифмических уравнений

Цели:

• образовательная: формирование знаний о разных способах и методах решения логарифмических уравнений, умений применять их в каждой конкретной ситуации;

• развивающая:  развитие логического мышления, самостоятельности, познавательного интереса, умений применять знания для решения задач, выявлять закономерности, обобщать, способствовать развитию математического кругозора;

• воспитательная: воспитание ответственного отношения к учебе, внимательного восприятия материала на уроке, воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов, активности, коммуникабельности, формирование положительной мотивации к изучению дисциплины для становления будущего профессионала.

Тип урока: комбинированный.

Вид урока: урок-путешествие.

Межпредметные связи: география, астрономия, биология, история.

Оснащение: проектор, ноутбук, экран, презентация к уроку, смайлики для оценивания, карточки-задания, плакат «Свойства логарифмов».

Этапы урока:

1. Оргмомент.

2. Постановка целей урока и мотивация учебной деятельности студентов.

3. Актуализация опорных знаний и умений студентов.

4. Ознакомление с новым материалом (рассмотрение методов решения логарифмических уравнений).

5. Первичное закрепление знаний.

6. Рефлексия.

7. Подведение итогов урока.

8. Домашнее задание.

Если вы хотите участвовать в большой жизни,

то наполняйте свою голову математикой,

пока есть к тому возможность.

Она окажет вам потом огромную помощь

во всей вашей работе.

(М. И. Калинин)

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

1.1. Приветствие.

1.2. Проверка готовности к уроку (явка студентов и их готовность)

1.3. Настрой на урок.

• Повернитесь друг к другу,

• Посмотрите друг другу в глаза,

• Улыбнитесь друг другу,

• Пожелайте друг другу хорошего настроения на уроке.

• Теперь посмотрите на меня.

• Я тоже желаю вам работать дружно, открыть для себя что-то новое.

1.4. Постановка целей урока и мотивация учебной деятельности студентов (слайд №2 - ребусы) (слайд №3 – тема и девиз).

Тему урока ребята вы узнаете, разгадав ребусы.

На этом уроке мы рассмотрим с вами простейшие логарифмические уравнения и способы их решения. Сегодня мы научимся решать самые простые логарифмические уравнения, где не требуются сложные преобразования. Если научиться решать такие уравнения, дальше будет намного проще.

Сегодня, ребята, у нас необычный урок. Мы не просто будем учиться, а отправимся в речной круиз по реке логарифмов. Мы посетим несколько пунктов, каждый из которых будет определенным методом решения уравнений. Сегодня на уроке выставление оценок будет организовано следующим образом: у меня есть смайлики и я буду лайкать с помощью их ваши правильные ответы и активность на уроке. В конце урока посмотрим на результаты вашей работы.

II. Актуализация опорных знаний студентов. Подготовка студентов к активному и сознательному усвоению нового материала. Устная работа

2.1. Что нужно сделать перед путешествием? Собрать багаж. Вы уже имеете определенный багаж знаний, и я сейчас не просто проверю ваши знания, мы с вами соберем то, что может нам понадобиться в путешествии. (слайд №4 )

1. Что такое «уравнение»?

2. Какие вы уравнения вы умеете решать?

3. Сформулируйте определение логарифмического уравнения

4. Определение логарифма;

5. Для чего нужны логарифмы?

   1. А кто их изобрёл? Где применяются? Давайте послушаем доклад!

Доклад студентов (слайд №5)

Продолжим собирать багаж. (слайд №6)

6. Свойства логарифмов:

   1. -основное логарифмическое тождество?

   2. чему равен логарифм произведения?

   3. чему равен логарифм частного?

7. Свойства логарифмической функции;

8. Десятичный логарифм;

9. Натуральный логарифм;

10. Теорема о логарифмах.

2. 2. Присядем на дорожку: математическая разминка

Вычислить: (слад №7)

; log₃27; log₅ ; 5^2log₅³; 8 ^log₂³; lg0,1; log₂(-8); ; lne² ; ; lg100.

Правильные ответы: -2; 3; ; 9; 27; -1; ∅; -5; 2; 1; 3.

III. Ознакомление с новым материалом.

Итак, багаж собран, в путь! (слайд №8)

Математика-царица наук,

Арифметика-царица математики.

(К.Гаусс)

3.1.1Первая остановка: «1 метод. По определению логарифма».

log ₅(4 + x) = 2

5² = 4 + x

x = 25 – 4

x = 21

Важно: Т.к. ОДЗ логарифмической функции х˃0, после решения необходима проверка.

log ₅(4 + 21) = 2 (верно)

Ответ: x = 21

3.1.2. Едем к следующей станции. (слайд №9)

Тот, кто не знает математику,

Не может узнать никакой другой науки.

(Роджер Бэкон)

Вторая остановка: «2 метод. По логарифмической теореме (потенцирование- переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению. Потенцированием называют действие нахождения числа по его логарифму. При решении логарифмических уравнений под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их )  »

log₅(2x+3)=log₅(x+1)

2x + 3 = x + 1

x = – 2.

Сделаем проверку:

log₅(2·(– 2) + 3) = log₅(– 2 + 1).

Получаем, что

log₅(–1) = log₅(–1)

С одной стороны, имеем верное равенство, но под знаком логарифма получили число «– 1», какой вывод можем сделать? - Под знаком логарифма получили отрицательное число. Но мы знаем, что под знаком логарифма могут стоять только положительные числа, так как область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел, то x = – 2 не является корнем данного уравнения. И в ответе запишем, что корней нет.

Ответ: x ∈∅:

Важно: это уравнение можно решать переходом к равносильной системе:

(слайд №10)

Каким образом мы проверяли, являются ли найденные значения корнями данного уравнения?

- В первом случае делали проверку, а во втором находили ОДЗ. Можно пользоваться одним из этих подходов, который вам больше понравился.

3.1.3. (слайд №11) Мы с наслаждением познаем математику...

Она восхищает нас, как цветок лотоса.

Аристотель

Третья остановка: «3 метод. Применение свойств логарифмов»

log₆(x–2)+log₆(x–1)=1

log₆((x–2)·(x–1))=1

log₆((x–2)·(x–1))= log₆6

x² –3x+2=6

x² –3x–4=0

x₁= –1; x₂=4

Сделаем проверку:

log₆(–1–3)+log₆(–1–1)=1(неверно, т.к. под логарифмом отрицательное число)

log₆(4–2)+log₆(4–1)=1(верно)

Ответ: x = 4

3.1.4. Четвертая остановка (слайд №12)

Математика черпает свою силу

в умении исключать все лишнее в процессе мышления.

(Э.Мах)

«4 метод. Введение новой переменной»

lg²х – 6lgх+5 = 0.

ОДЗ: х>0.

Пусть lgх = р, тогда

р²–6р+5=0.

р₁=1, р₂=5.

Возвращаемся к замене:

lgх = 1, lgх =5

х=10, 10>0 (верно) х=100000, 100000>0 (верно)

Ответ x = 10; х=10000.

3.1.5. Пятая остановка (слайд №13)

«Уравнение – это золотой ключ

открывающий все математические сезамы».
Современный польский математик С. Коваль

«5 метод. Функционально-графический»

log₂x=x+1

Здесь обе части уравнения разные функции: у=log₂x-логарифмическая у=x+1 - линейная. Как в уже знаете, в таких случаях применяют функционально-графический метод. Построим графики обеих функций, точка пересечения и будет решением уравнения.

А что будет, если графики не пересекутся?- Решений у такого уравнения нет.

IV. Первичное закрепление. Пятая остановка «Гребем веслами»

4.1. Карточка «Определите тип решения уравнения». Возьмите карточку №1 и поставьте соответствия между уравнениями и способами их решений. (слайд №14)

4.2. Эстафета. Эстафета проводится по рядам, начиная с о студентов последних парт. Первый студент решает пример№1, записывает ответ в окошко своего примера и следующего, передает получившийся пример, следующему студенту, тот поступает аналогично, передав эстафету дальше. Выигрывает ряд, первым окончивший эстафету, студенты получают смайлики. Преподаватель может дать подсказку в обмен на смайлик.

Подсказки:

1. Сколько богатырей изображено на известной картине?

2. Когда женщинам делают больше всего комплиментов и подарков?

3. Какая самая желанная отметка?

4. Это всем известно в целом мире!

4.3.Дополнительное задание: решить уравнения 3 и 4 из карточки –задания «Определите тип решения уравнения».

V. Рефлексия. Составить кластер методов решения логарифмических уравнений. (слайд №15)

VI. Домашнее задание. (слайд №16)

6.1. Решить уравнения. Оформить решение в рабочей тетради. Если появятся трудности в его выполнении, подготовить вопросы к преподавателю.

1. log₃(9 – x) = 4

2. log₂(x + 3) = log₂16

3^*. log_x+1(2x² + 1) = 2

6.2. Задача «вступаем в отряд «Стражей галактики» (задание на карточке).

6.3. На нашем кластере представлены не все методы решения логарифмических уравнений. Их гораздо больше. К следующему уроку я попрошу вас отыскать недостающие методы. Вы должны будете указать их название, принцип решения и привести пример решения.

VII. Подведение итогов урока.

7.1. Впечатления о путешествии. Вот и закончилось наше путешествие, во время которого ваш багаж знаний значительно пополнился. Я прошу вас поделиться впечатлением о путешествии, заполнив лист самоанализа.

(Лист самоанализа деятельности обучающегося).

7.2. Оценки студентам Сегодня вы молодцы, активно работали! Выставим оценки, для этого покажите, сколько смайликов вы получили в течение занятия. (Озвучивание оценок). (слайд №17)

Мы начали урок с призыва, наполнять голову математикой, а закончить его я хочу такими словами: «Музыка может возвышать или умиротворять душу, живопись – радовать глаз, поэзия - пробуждать чувства, философия – удовлетворять потребности разума, инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей, а математика способна достичь всех этих целей»! Так сказал американский математик Морис Клайн.

Использованные источники

1. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля: учебник для образоват. учреждений нач. и сред. проф. образования / В. А. Гусев, С. Г. Григорьев, С. В. Иволгина. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2012. – 384 с.

2. Математика: Учебное пособие / Под ред. М. М. Чернецова. – М.: РГУП, 2015. – 342 с.

3. Методика изучения математики в основной школе: курс лекций для организации самостоятельной работы студентов по вопросам частных методик / авт.-сост. Г. Н. Васильева, В. П. Краснощекова, И. С. Цай, Л. Г. Ярославцева; Перм. гос. пед. ун-т. – Пермь, 2011. – 96 с.

4. Новая дидактика современного урока в условиях введения ФГОС ООО: Методическое пособие / О. Н. Крылова, И. В. Муштавинская. – СПб.: КАРО, 2014. – 144 с. – (Серия «Петербургский вектор внедрения ФГОС ООО»).

5. https://wiki2.org/ru/История_логарифмов

Приложение №1 «Определите тип уравнения»

(поставьте соответствия между уравнениями и способами их решений).

log2х=3– х 2log23х –7 log3х + 3 = 0 log7(х+3) = log7(4x–15) log4(х–6)=2 log3(4х+5)+log3(х +2) = log3(2х+3)

Применение свойств логарифмов Функционально- графический Введение новой переменной По определению логарифма Потенцированием

Приложение №2 «Эстафета»

Эстафета проводится по рядам, начиная с о студентов последних парт. Первый студент решает пример№1, записывает ответ в окошко своего примера и следующего, передает получившийся пример, следующему студенту, тот поступает аналогично, передав эстафету дальше. Выигрывает ряд, первым , окончивший эстафету, студенты получают смайлики.

log327= log2х= log7(х–2)= log7( –х) log2( х) – log2 =2 log24х–3 log4х+ =0

Приложение №3 Задача «вступаем в отряд «Стражи галактики»

Представим, что на Землю нападают противные инопланетные чудовища, покрытые кислотной слизью, которые размножаются делением. Первоначально на землю была заброшена исследовательская шлюпка с 8 тварями на борту. Атмосфера земли оказалась столь прекрасна, что через два часа количество особей увеличилось до 100 штук. И перед землянами стоит задача не только выхватить огнемет и с доблестью, достойной Мстителей истребить инопланетных тварей, но и рассчитать, через какое время захватчики размножатся до 500 штук и поработят землю. Для решения задачи вспомним также понятия скорости и ускорения 8х=100 ⇒ х=log8100 ⇒ – конечное значение скорости размножения тварей при первом изменении vкон1. Проделываем те же расчеты для второго изменения:  8х=500 ⇒ х=log8500 ⇒ log8500 – конечное значение скорости размножения тварей при втором изменении vкон2.

Приложение №4 Лист самоанализа деятельности обучающегося

Лист самоанализа деятельности обучающегося Из предложенных утверждений отметь те, с которыми ты согласен. Мне было интересно работать на уроке. Данная тема понятна для меня. В процессе работы у меня возникли затруднения. Результатом работы я доволен. Поделись впечатлениями об уроке: что понравилось или не понравилось________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.