... Читатель очень скоро обнаружит, что в этой книге я решительно изменяю своей обычной практике избегания математических формул, несмотря на неоднократные зловещие предупреждения издателей о том, что такой мой шаг повлечет за собой значительное сокращение читательской аудитории. Я очень серьезно обдумал этот вопрос и пришел к выводу, что без привлечения языка математики и рассмотрения некоторых чисто математических концепций сказать, то что я намерен сказать, просто невозможно. Наше понимание тех принципов, что в действительности управляют поведением окружающих нас физических объектов, в значительной мере опирается на соответствующий математический аппарат. Возможно, это обстоятельство повергнет в отчаяние тех, кто почему-либо убежден, что напрочь лишен способностей к математике, какой бы элементарной она не была. Как можно, скажут они понять смысл исследований, ведущихся на переднем крае теоретической физики, если мы не можем совладать даже с обыкновенными дробями? Что ж, согласен, это будет нелегко.

И все же, когда дело доходит до объяснения вещей, в принцпе доступных пониманию, я склонен считать себя оптимистом. Можно даже сказать, неисправимым оптимистом. Мне кажется, что читатели, не способные оперировать дробями (точнее, те, кто утверждает, что не способен оперировать дробями), слегка себя обманывают - в большинстве своем эти люди обладают потенциальной способностью к такого рода деятельности, но по разным причинам предпочитают об этом "не знать". Без сомнения, есть среди них и такие, кто, глядя на строку математических символов, даже самых простых, видимт перед собой лишь строгие лица родителей и учителей, пытавшихся вдолбить в них "знания" и требующих взамен попугайского повторения, видимости понимания, не нуждающейся в понимании истинном, - ты должен выучить от сих до сих, иначе будет плохо, - до волшебства же и красоты изучаемого предмета при таком "обучении", скорее всего, никому нет дела. Воможно, до кого-то я уже не достучусь - слишком поздно, - однако, как я уже сказал, я неисправимый оптимист и верю, что многие мои читатели, даже те, кто так до сих пор и не освоил операции с дробями, смогут хотя бы краем глаа увидеть тот удивительный мир, который, я убежден, откроется перед ними во всей своей красе, стоит им только захотеть.

Одна из ближайших подруг моей матери, довольно известная балерина, в бытность свою школьницей тоже никак не могла освоить действия с дробями. Много лет спустя, уже после успешного завершения своей балетной карьеры, она как-то упомянула об этом факте в моем присутствии. Я тогда был еще молод, еще не посвятил себя целиком математической деятельности, но о моем увлечении математикой многие уже знали. "Все неприятности начались с сокращения дробей, - скзалала она мне. - Я просто не понимала, как это делается. Так с тех пор и не научилась". Она была настоящей леди, изысканной и остроумной, и я ни чуть не сомневался, что ментальных качеств, необходимых для всприятия и исполнения сложных хореографических композиций, без которых не обходится ни один балет, должно с лихвой хватить и на решение столь пустячной математической задачи. И вот, изрядно переоценив свои преподавательские способности, я попытался превзойти своих незадачливых предшественников и донести наконец до этой замечательной женщины простуту и логичность процедуры "сокращения".

На сколько я могу судить, моя попытка оказалась столь же безуспешной, что и попытки прежних "учителей". (Отец ее, кстати сказать, был выдающимся ученым, членом Королевского общества, так что можно предположить, что научные материи не были ей в диковинку. Может быть, здесь сыграл свою роль фактор "строгого лица", не знаю.) С тех пор я много размышлял об этом и теперь мне кажется, что у нее, как и у многих других людей такого склада, отсутствует необходимый рационализирующий "пунктик", а я будучи "зациклен" на математики, просто не обратил на это обстоятельство должного внимания. В самом деле, и в математике, и в математческой физике мы то и дело сталкиваемся с одной фундаментальной проблемой, причем впервые это происходит как раз в таких на первый взгляд невинных операциях, как сокращение числителя и знаменателя самой обыкновенной арифметической дроби на некий общий множитель.

Те, для кого сокращение дробей успело стать - в результате бечисленных повторений - действием столь же привычным и естественным, как дыхание, скорее всего, и представить себе не могут всю ту сложность, которая в действительности кроется в такой, казалось бы, простой процедуре. Возможно, многие из тех кто находит сокращение дробей непостижимым и таинственным, способны увидеть упомянутую фундаментальную сложность более ясно, нежели мы, склонные, по-видимому, полностью игнорировать ее, решая задачи методом лихого кавалерийского наскока. Что же это за сложность такая? Скажем пока так: она непосредственно связана с тем, как именно математики вызывают из небытия математические объекты, причем степень ее зависит от соотносимости таких объектов с физической реальностью.
Я припоминаю один случай из своего детства - мне было тогда лет одиннадцать, и я еще учился в школе. На одном из уроков математики учитель задал классу немало поразивший меня вопрос: что в действительности представляет собой обыкновенная арифметическая дробь (такая, например, как 3/8)? Со всех сторон тут же посыпались предполжения, сводившиеся в основном к разделению на части пирога и прочих продуктов, однако учитель их сходу отверг на том (здравом, надо сказать) основании, что эти ответы всего лишь описывают некие не поддающиеся точному определению физические ситуации, к каким следует применять точною математическую концепцию дроби, - четкого математического понятия дроби они отнюдь не содержат. На что кто-то из учеников заметил, что в таком случае дробь 3/8 - это "такая штуковина с тройкой вверху, с восьмеркой внизу и чертой посредение". Представьте себе мое изумление, когда я обнаружил, что учитель, похоже, воспринял это "определение" вполне серьезно! Я сейчас не помню в точности, какому ответу мы тогда пришли, однако, оглядываясь назад с высоты приобретенного позднее, в университете, математического опыта, могу предположить, что наш учитель предпринял на том уроке отважную попытку дать нам определние дроби в терминах такого универсального математического понятия, как класс эквивалентности.
Опускаю объяснение эквивалентности вообще и применительно к дробям.
Правильнее будет разссматривать дробь как объект, обладющий некоей собственной реальностью (в платновском смысле), а бесконечный набор пар чисел - просто как один из способов, посредством которого мы можем объект такого типа непротиворечиво описать. По мере "привыкания" к дробям мы все чаще ловим себя на мысли, что нам совсем не сложно воспринимать дробь, например, 3/8 как реальный, существующий независимо от нас объект, а описание ее в виде "бесконечного набора пар чисел" представляется нам всего-навсего подпоркой для педантов - подпоркой, надобность в которой отпадает как только мы осознаем ее смысл. Большая часть математики именно так и устроена.

Для математиков (по крайней мере, для большинства математиков, насколько мне известно) математика является не просто родом общественно полезной деятельности, который мы сами для себя и придумали, - она существует сама по себе, отдельно от нас, находясь при этом в поразительной гармонии с физической Вселенной. Невозможно достичь сколько-нибудь глубокого понимания законов, управляющих физическим миром, не погрузившись с головой в мир математики. В частности, упомянутое выше понятие класса эквивалентности оказывается полезным для понимания не только множества важнейших (и крайне запутанных) математических концепций, но и немалого количества не менее важных (и зачастую еще более запутанных) математических концепций физических - таких, например, как общая теория относительности Эйнштейна или принципы "колибровочной теории", описывающие действующие в природе силы с точки зрения современной физики элементарных частиц. Ни один физик сегодня не может считать себя свободным от необходимости разбираться в тонкотсях математики, причем математики весьма мудреной. Именно по этой причине в тонкостях математики, причем математики весьма мудреной.

Тем читателям, кто слабо представляет себе, что им теперь со всей этой математикой делать, я скажу лишь одно: погодите отчаиваться. Эту книгу можно читать четырьмя разными способами - в зависимости от желаемого уровня сложности. Допустим вы принадлежите к первой группе читателей (наименьший, по нашей школе, уровень сложности), то есть к тем, кто, завидев какую угодно математическую формулу, просто отключается (многие из этой группы, скорее всего, испытывают непреодолимые трудности и при столкновениях с дробями). Даже в этом случае, я уверен, вы сможете многое извлечь из книги, просто пропуская все формулы и читая только текст. Мне кажется, это не многим отличается от того, как я сам, будучи подростком, просматривал время от времени шахматные журналы, повсюду разбросанные в нашем доме. В жизни моих братьев и родителей шахматы занимали весьма важное место, я же шахматами почти не интересовался, хотя мне нравилось читать о достижениях тех незаурядных и зачастую весьма странных людей, что посвятили себя этой игре. Читая о сыгранных ими партиях и блестящих ходах, я узнавал для себя что-то новое, пусть не совсем понимая, что именно вызывает такое восхищение у знатоков, и даже не пытаясь разобраться в обозначениях, описывающих те или иные позиции. Несмотря на недопонимание, я все же находил это занятие интересным и в чем-то даже поучительным; во всяком случае оно надолго удерживало мое внимание. Надеюсь, что в представленных далее математических рассуждениях также найдется что-нибудь способное заинтересовать даже самого далекого от математики читателя, буде он - преисполнившись отваги или же из простого любопытства - решит составить мне компанию в экспедиции по исследованию математических и физических идей, призванных объяснить, как устроена и работает физическая Вселенная. Не бойтесь пропускать уравнения (я и сам часто так делаю), куски глав, если хотите, или даже целые главы, где, на ваш взгляд, я хватил через край. Представленный в книге материал очень разнообразен по сложности и, если можно так выразиться "специальности", так что, пропустив одно, вы непременно найдетей что-то другое, что придется вам больше по душе. Можно и прсто заглядывать в любое место и просматривать страницу-другую. Надеюсь также, что обширная система перекрестных ссылок поможет в достаточной степени прояснить любое незнакомое понятие и позволит быстро найти все что необходимо, в пропущенных по какой-либо причине главах.

Ко второй группе я отношу читателей, обладающих достаточной подготовкой для чтения и понимания возникающих по ходу рассуждения математических формул, но, возможно, не расположенных (в силу отсутствия свободного времени или по каким-то другим причинам) лично проверять истинность моих утверждений. На тот случай, если такое желание все же возникнет, рекомендую обратить внимание на упражнения, которыми я сопроводил многие математические утверждения в книги Эти упражнения делятся по сложности на три группы. Разумеется, необходимости в проверке нет; если хотите, можете совершенно спокойно принять все мои утверждения на веру, целостность восприятия при этом ничуть не пострадает.

Надеюсь, впрочем, что предложенные упражнения будут полезны тем читателям, кто хотел бы разобраться во встречающихся на этих страницах разнообразных (и порой весьма важных) математических концепциях, но не знаком в достаточной мере с тем или иным предметом обсуждения. Общеизвестно, что навык приобретается при упражнении, и математика в этом смысле не исключение - небольшой практический опыт самостятельно размышления над какой-либо задачей может дать гораздо более глубокое понимание предмета, чем простое прочтение десятка описаний.

И наконец, читатели-специалисты. В этом случае сложностей с математикой (не так уж она, вообще говоря, и запредельна), разумеется, не возникнет вовсе и тратить время на выполенение упражнения, скорее всего, необходимости нет. Однако и специалист, возможно, найдет что-нибудь для себя полезное в моей точке зрения на различные предметы, как правило, отличной (а порой и весьма радикально) от общепринятой. Не исключено, что специалисту любопытно будет ознакомиться с моим мнением относительно ряда современных теоретических построений (таких, например, как теория суперсимметрии, космология расширяющейся Вселенной, гипотезы о природе Большого взрыва и черных дыр, теория струн или М-теория, петлевые переменные и квантовой теории). Не сомневаюсь, со многим из изложенного в книге специалист нипочем не согласится, однако я убежден также, что в споре рождается истина и полемика играет в развитии науки исключительно важную роль, - поэтому без колебаний представляю на суд читателя свои выводы, которые вполне возможно, в чем-то противоречат некоторым из общеизвестных достижений современной теоретической физики.