|
помогите пожалуйста ответить на вопрос, верно ли утверждение
|
|
|
natascha82 | Дата: Понедельник, 04.06.2012, 22:04 | Сообщение # 31 |
| Сообщений: |
10 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
Спасибо EricRed и Александр за советы, попробую найти эту книгу. Добавлено (04.06.2012, 22:04)
---------------------------------------------
Спасибо EricRed и Александр за советы, попробую найти эту книгу.
04.06.2012
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Понедельник, 04.06.2012, 22:18 | Сообщение # 32 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Quote (natascha82) Извините за надоедливость.
Это нормальное отношение к делу.
Нужно раз и навсегда приучить детей к мысли о том, что все динамично. Величины могут изменяться и при этом стремиться к некоторым пределам. Один из таких естественных пределом мы называем особенным числом, именно числом - бесконечностью, понимая под этим тот естественный предел, какой при этом возникает. Простейший пример: среди чисел нет наибольшего! Предел - бесконечность. Нужно сказать, что именно понимание предельного перехода, НОВОЙ И НЕАЛГЕБРАИЧЕСКОЙ операции, вносит свои поправки и правила. Это все не страшно. Нужно помнить две вещи:
в школе мы пока просто играем в эти игры, правила которых нужно выучить и использовать,
только в Высшей школе (кто-нибудь) узнает, откуда эти правила пришли.
Вот и все.
Это обычная школьная процедура.
Относительно функции корень кубический из Х. Предложите еще совершенно простой аргумент. Ученику на листочке без клеточек и осей координат дали чертеж этой функции и попросили с помощью линейки на глазок в любой точке провести касательную. И спросить, в любой ли точке он сможет это сделать. Уверен, что любой все поймет, скажет ДА и проведет касательную в любой точке. А точке перегиба особенно легко! А теперь спрашивается, чем вот эта простая и совершенно наглядная ситуация отличается от случая, когда я ту же РЕАЛЬНУЮ ЛИНИЮ, но силой приковал к какой-то системе координат? Не должно измениться ничего. Я и теперь МОГУ в любой точке провести касательную и найти тангенс угла ее наклона к оси абсцисс.
Вызывает ли удивление тот факт, что тангенс угла при стремлении угла к пи/2 делается все больше и больше? Нет! А в пределе каким он будет? Сколь угодно большим. Вот это и называется бесконечностью.
Все просто и очень логично. Сначала больше примеров с наглядными образами, когда сомнений в стремлении к бесконечности нет.
И втолковать, что для существования у функции производной в точке нужно понять, можно ли в этой точке провести к ней касательную. И совершенно безразлично, какая она: горизонтальная, наклонная или вертикальная!
Была бы!
Если у функции в точке можно провести две касательных, например y=x^2-abs(x) в точке х=0, то будут только односторонние производные.
И т.д.
04.06.2012
Сообщение отредактировал Александр_Игрицкий - Понедельник, 04.06.2012, 22:19
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Понедельник, 04.06.2012, 22:22 | Сообщение # 33 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Относительно книги академика Я.Б.Зельдовича "Высшая математика для начинающих"
Великолепная книга!
ВЕЛИКОЛЕПНАЯ!!!
04.06.2012
|
|
|
|
| |
|
|
natascha82 | Дата: Понедельник, 04.06.2012, 22:28 | Сообщение # 34 |
| Сообщений: |
10 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
Здорово, да у Вас просто талант сложные вещи делать простыми и понятными. Ещё раз благодарю. 
04.06.2012
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Понедельник, 04.06.2012, 22:32 | Сообщение # 35 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Quote (EricRed) Лучше называть бесконечность бесконечностью. У числа есть определение, и бесконечность ему не удовлетворяет, поэтому бесконечность не есть число. А бесконечностей много разных: мощность континуума, например, больше мощности счётного множества, и как количества элементов они обе суть бесконечности. И к которой ж из них стремится наша производная?
Назвали, и что? Та бесконечность, о которой мы все время говорим, это бесконечность в континууме, это особое ЧИСЛО. И не нужно сюда привлекать другие. Мощность любого числа счетных множеств останется такой же. Это совсем не те числа! Это не из этой оперы.
04.06.2012
|
|
|
|
| |
|
|
EricRed | Дата: Понедельник, 04.06.2012, 22:38 | Сообщение # 36 |
EricRed
Ранг: Студент (?)
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
170 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
Если они знают, как график обратной функции получается, то можно ещё построить касательную к графику куба (горизонтальная линия), а потом оси поменять местами.
04.06.2012
|
|
|
|
| |
|
|
EricRed | Дата: Понедельник, 04.06.2012, 22:43 | Сообщение # 37 |
EricRed
Ранг: Студент (?)
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
170 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
Quote (Александр_Игрицкий) это особое ЧИСЛО
Ну, Вы ж сами говорите, что наибольшего числа нет. Значит -- не число. А когда что-то чем-то не является, то не стоит это тем называть. "Особое число" дети поймут как "число, но особое", а не как "такое особое число, что и не число вовсе".
04.06.2012
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Понедельник, 04.06.2012, 22:44 | Сообщение # 38 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Quote (EricRed) Точнее -- физически бесконечно большие (малые). Физически бесконечно большое -- это не просто очень большое ("очень", разумеется относительно поставленной задачи). Физически бесконечно большое -- это очень большое, как бы ни была поставлена задача. Здесь смысл привязан к существованию предельной точности измерения. Не правильно представлять себе дело так, что физики работают с конечными величинами, просто достаточно малыми. Физики работают с физически бесконечно малыми. Формализовать это средствами классического анализа нельзя. Кое-что можно формализовать средствами нестандартного анализа. До конца формализовать (программа Гильберта) нельзя в принципе. Но к тому можно стремиться...
Что-то Вы здесь, воля Ваша, не очень ясно излагаете!
Позвольте несколько слов и вопросов?
1. Физически бесконечно большое и малое как раз имеют смысл только в пределах конкретной задачи. 10 м/сек – это много или мало?
2. Объясните мне, пожалуйста, зачем Вы затеяли разговор о предельной точности измерений? Хоть убейте, не пойму.
3. Скажите мне, в чем отличие «работы» с конечными величинами и бесконечно малыми? И что значит само понятие «работают»?
4. О какой формализации Вы говорите? Не пойму. С чем не может справиться классический анализ? Можно примеры?
5. Аналогично по нестандартному анализу. Где он понадобился физикам?
6. Можно два слова о программе Гильберта?
04.06.2012
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Понедельник, 04.06.2012, 22:55 | Сообщение # 39 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Quote (EricRed) Ну, Вы ж сами говорите, что наибольшего числа нет. Значит -- не число. А когда что-то чем-то не является, то не стоит это тем называть. "Особое число" дети поймут как "число, но особое", а не как "такое особое число, что и не число вовсе".
Это я повторяю заученную фразу, в содержание которой верю.
Эрик! Меня это никогда не смущало! Введение несобственных чисел вполне объяснимо? и именовать их не числами я оснований не вижу. Применение их имеет совершенно условный смысл.Проводить над этими несобственными числами арифметические операции нужно осторожно. Мы имеем дело с переменными величинами и пределами. Лишь в процессе своего изменения величина может стать больше любого произвольно взятого числа, что и есть определение бесконечно большой величины.
04.06.2012
Сообщение отредактировал Александр_Игрицкий - Вторник, 05.06.2012, 17:00
|
|
|
|
| |
|
|
EricRed | Дата: Понедельник, 04.06.2012, 23:12 | Сообщение # 40 |
EricRed
Ранг: Студент (?)
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
170 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
Quote (Александр_Игрицкий) Позвольте несколько слов и вопросов?
Очень много очень ёмких вопросов Вы задали. Подробно отвечать нет у меня ни времени, ни желания. Да и от темы разговора это всё очень далеко.
Quote (Александр_Игрицкий)
1. Физически бесконечно большое и малое как раз имеют смысл только в пределах конкретной задачи. 10 м/сек – это много или мало?
2. Объясните мне, пожалуйста, зачем Вы затеяли разговор о предельной точности измерений? Хоть убейте, не пойму.
Относительно конкретной задачи -- это частный случай. Можно рассмотреть класс всех возможных задач и рассматривать относительно него. Вот предельная точность -- это понятие относительно класса всех возможных задач как раз. Физически бесконечно малое определено в терминах предельной точности. Относительно конкретной задачи оно лишь частный случай.
Quote (Александр_Игрицкий)
3. Скажите мне, в чем отличие «работы» с конечными величинами и бесконечно малыми? И что значит само понятие «работают»?
Работа физика заключается в подавляющей части не в том, чтобы решать уравнения, а в том, чтобы их составлять. Вот как раз этот процесс я и имел в виду под словом "работать". Если физик разницы между конечной величиной и физически бесконечно малой не чувствует, то, как показывает практика, он слишком часто оказывается не соответствующим занимаемой должности.
Quote (Александр_Игрицкий)
4. О какой формализации Вы говорите? Не пойму. С чем не может справиться классический анализ? Можно примеры?
5. Аналогично по нестандартному анализу. Где он понадобился физикам?
6. Можно два слова о программе Гильберта?
Математика -- это наука о законах природы одновременно предельно точных и предельно общих. Физике очень удобно ею пользоваться как инструментом. Это первым придумал Декарт, а реально начал делать -- Эйлер. Гильберт задался вопросом, а можно ли вообще обойтись одной математикой: сформулировать некие аксиомы и из них вывести законы физики. Он сформулировал это в виде задачи среди своих 23-х проблем. Ценность нестандартного анализа перестала вызывать сомнение, когда его средствами доказали очень трудную теорему (но потом её доказали и средствами классического анализа). Для физики он ценен именно тем, что даёт понимание отличия физически бесконечно малого от бесконечно малого в смысле классического анализа. "Работать" физикам очень хочется максимально эффективно, а то не возможно без подходящей математики. Нестандартный анализ как раз даёт возможность формально строго обращаться с вещами, которые в классическом анализе определить нельзя, но в физике используются (бесконечно малые постоянные, например).
04.06.2012
|
|
|
|
| |
|
|
EricRed | Дата: Понедельник, 04.06.2012, 23:22 | Сообщение # 41 |
EricRed
Ранг: Студент (?)
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
170 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
Quote (Александр_Игрицкий) Введение несобственных чисел вполне объяснимо и именовать их не числами я оснований не вижу.
Я только за. Но не я выдумываю терминологию. То, что называют числом, известно, что такое. Бесконечность -- не то. А, как это детям объяснять -- "то не наша забота". Когда дети спрашивают: "Почему на ноль делить нельзя?", можно им ответить очень хорошо, приведя пример ошибочного рассуждения с сокращением нулей. Но после этого уже нельзя им говорить, что бесконечность -- это число, ибо обман. А вот пояснить, как это Вы предложили выше с касательными, что с бесконечными пределами можно работать (если знать, как) -- это, я думаю, нужно обязательно.
04.06.2012
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Понедельник, 04.06.2012, 23:44 | Сообщение # 42 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Quote (EricRed) Относительно конкретной задачи -- это частный случай. Можно рассмотреть класс всех возможных задач и рассматривать относительно него. Вот предельная точность -- это понятие относительно класса всех возможных задач как раз. Физически бесконечно малое определено в терминах предельной точности.
Вы знаете, Эрик, не понимаю. И так, и сяк верчу. Не понимаю. Для меня это - просто слова, не более.
Пример можно?
04.06.2012
Сообщение отредактировал Александр_Игрицкий - Понедельник, 04.06.2012, 23:44
|
|
|
|
| |
|
|
EricRed | Дата: Вторник, 05.06.2012, 01:36 | Сообщение # 43 |
EricRed
Ранг: Студент (?)
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
170 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
Quote (Александр_Игрицкий) Пример можно?
Измеряем длину болванки. А есть ли у болванки длина? Это вопрос философский. Если у болванки длина есть, то мы материалисты, а, если нет -- то идеалисты. Не зависимо от этого, мы можем длину болванки померить. Но вот беда, чтобы померить, нужно сперва модель болванки выбрать. Например -- как цилиндр. Другая беда -- модель всегда будет проще болванки. Мы не можем смоделировать болванку во всей её полноте и многообразии: болванка неисчерпаема, как стакан Вождя Мирового Пролетариата. Отсюда, как бы мы не выгибались, как бы точно не измеряли длину болванки, несоответствие модели реальной болванке завсегда породит некоторую предельную точность, с которой понятие длины к именно этой болванке может быть применимо. Эту предельную точность называют пороговой. По сути, предельная точность зависит от ответа на вопрос "что такое болванка как часть физической реальности". Если класс задач расширяется, то и понятие длины болванки меняется, а с этим и величина предельной точности. Когда же физики говорят о производной, то имеют в виду приращения, меньшие предельной точности измерения -- физически бесконечно малые. Смысл не в том, что очень малые, а в том, что меньше самого меньшего. У Сивухина, если не изменяет память, есть пример про измерение скорости. Там он объясняет, почему нельзя выбрать приращение времени сколь угодно малым. Посмотрите. Если вопросы появятся, постараюсь ответить.
На рабочем месте возникает примерно такая ситуация. Человек строит модель, должен пренебречь всем второстепенным, оставить всё главное. Малые величины (которыми можно пренебречь) бывают двух сортов: малые, но конечные и физически бесконечно малые. Порог малости для одних определяется желаемой точностью результата, а для других -- достижимой точностью входных параметров. Когда человек эти вещи путает, он обычно этим призывает бесов.
05.06.2012
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Вторник, 05.06.2012, 02:01 | Сообщение # 44 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Quote (EricRed) У Сивухина, если не изменяет память, есть пример про измерение скорости. Там он объясняет, почему нельзя выбрать приращение времени сколь угодно малым. Посмотрите. Если вопросы появятся, постараюсь ответить.
Ни Вы, ни уважаемый Дмитрий Васильевич меня ни в чем не убедили и в свою веру не обратили. Мне эти рассуждения представляются искусственными и совершенно надуманными.
Кто и что путает, мне безразлично, но при таком подходе к проблеме я склонен призвать бесов.
И в прямом и в переносном смысле.
Мне с ними спокойнее.
Ближе как-то!
05.06.2012
|
|
|
|
| |
|
|
EricRed | Дата: Вторник, 05.06.2012, 02:27 | Сообщение # 45 |
EricRed
Ранг: Студент (?)
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
170 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
Quote (Александр_Игрицкий) Мне с ними спокойнее.
Дело Ваше. Замечу лишь, что отдельный человек не может претендовать на общепринятое понимание (ибо оно есть элемент коллективного, а не индивидуального сознания). Ни Вы, ни я, ни Дмитрий Васильевич не знаем, "как правильно". Различия понимания (и заметные, а не малые) всегда будут. А, обмениваясь мнениями, мы свои понимания расширяем, соотнося между собой разные понимания. Что-то выглядит убедительнее у одного, что-то -- у другого. А, как бедным детям быть, которые по молодости лет хотят знать, как всё на самом деле -- ума не приложу. В реальности-то завсегда всё не так, как на самом деле, но они ж того ещё не ведают.
05.06.2012
|
|
|
|
| |
|
